内容发布更新时间 : 2025/2/24 3:03:20星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。
版权所有，仿冒必究 第一章 基础知识部分
&1.1初等函数
一、函数的概念
1、函数的定义
函数是从量的角度对运动变化的抽象表述，是一种刻画运动变化中变化量相依关系的数学模型。
设有两个变量x与y，如果对于变量x在实数集合D内的每一个值，变量y按照一定的法则都有唯一的值与之对应，那么就称x是自变量，y是x的函数 ，记作y=f（x），其中自变量x取值的集合D叫函数的定义域，函数值的集合叫做函数的值域。 2、函数的表示方法 （1）解析法
即用解析式（或称数学式）表示函数。如y=2x+1, y=︱x︱，y=lg(x+1),y=sin3x等。 便于对函数进行精确地计算和深入分析。 （2）列表法
即用表格形式给出两个变量之间函数关系的方法。 便于差的某一处的函数值。 （3）图像法
即用图像来表示函数关系的方法
非常形象直观，能从图像上看出函数的某些特性。
分段函数——即当自变量取不同值时，函数的表达式不一样，如
1??2x?1, x?0?xsin, f?x???y??x?2x?1,x?0???0x?0
x?0 隐函数——相对于显函数而言的一种函数形式。所谓显函数，即直接用含自变量的式子表示的函数，如y=x2+2x+3，这是常见的函数形式。而隐函数是指变量x、y之间的函数关系式是由一个含x，y的方程F(x,y)=0给出的，如2x+y-3=0，e可得y=3-2x，即该隐函数可化为显函数。
参数式函数——若变量x,y之间的函数关系是通过参数式方程?x?y而由2x+y-3=0?x?y?0等。
?x???t?，?t?T?给出的，??y??t?这样的函数称为由参数方程确定的函数，简称参数式方程，t称为参数。
反函数——如果在已给的函数y=f(x)中，把y看作自变量，x也是y的函数，则所确定的函数x=∮(y)叫做y=f(x)的反函数，记作x=fˉ1(y)或y= fˉ1(x)(以x表示自变量).
二、函数常见的性质
1、单调性（单调增加、单调减少）
2、奇偶性（偶:关于原点对称，f（-x）=f（x）；奇：关于y轴对称，f（-x）=-f(x).） 3、周期性（T为不为零的常数，f（x+T）=f（x），T为周期）
4、有界性（设存在常数M＞0，对任意x∈D，有f∣(x)∣≤M,则称f(x)在D上有界，如果不存在这样的常数M，则称f(x)在D上无界。
5、极大值、极小值
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版权所有，仿冒必究 6、最大值、最小值 三、初等函数
1、基本初等函数
常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数共六大类函数统称为基本初等函数。（图像、性质详见P10）
2、复合函数——如果y是u的函数y=f(u),而u又是x的函数u=∫(x)，且∫(x)的值域与f(x)的定义域的交非空，那么y也是x的函数，称为由y=f(u)与u=∫(x)复合而成的复合函数，记作y=f(∫(x))。
3、初等函数——由基本初等函数经过有限次四则运算和有限次的函数复合构成的，并且能用一个数学式子表示的函数，称为初等函数。 四、函数关系举例与经济函数关系式
1、函数关系举例 2、经济函数关系式
（1）总成本函数——总成本=固定成本+变动成本 平均单位成本=总成本/产量 （2）总收益函数——销售总收益=销售价格×产量 （3）总利润函数——总利润=销售总收益-总成本
（4）需求函数——若其他因素不变，需求量Q=f(P)(P为产品销售价格)
&1.2函数的极限
一、数列的极限
对于无穷数列{an}，当项数n无限增大时，如果an无限接近于一个确定的常数A，则
lim称A为数列{an}的极限，记为a=A，或当n→∞时，an→A。
n→∞nlim1lim 若数列{an}存在极限，也称数列{an}收敛，例如?0，C?C（C为
n??nn??limn常数）， q=0(q?1) 。
n→∞ 若数列{an}没有极限，则称数列{an}发散。 数列极限不存在的两种情况：
（1）数列有界，但当n→∞时，数列通项不与任何常数无限接近，如：??1?n?1；
（2）数列无界，如数列{n2}。
二、当x→0时，函数f（x）的极限
如果当x的绝对值无限增大（记作x→∞）时，函数f(x)无限地接近一个确定的常数A，那称A为函数f(x)当x→∞时的极限，记作
lim f?x??A，或当x→∞时，f(x) →A。
x?? 单向极限定义 如果当x???或?x????时，函数f(x)无限接近一个确定的长寿湖A，那么称A为函数f(x)当x???或?x????时得极限，记作
lim?lim??。 ??f?x??A?fx?A??x????n????
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版权所有，仿冒必究 三、当X→Xo时，函数f（x）的极限
1、当X→Xo时，函数f(x)的极限定义 如果当x无限接近Xo(记作X→Xo)时，函数f(x)无限接近于一个确定的常数A，则称A为函数f(x)当X→Xo时的极限，记作
limf?x??A，或当X→Xo时，f(x) →A。
n??2、当X→Xo时，函数f(x)的左极限和右极限
如果当X→Xoˉ（或x?x0）时，函数f(x)无限接近一个确定的常数A，则称函数f(x)当X→Xo时的左极限（右极限）为A，记作四、无穷大与无穷小
1、无穷大与无穷小的定义
?limf?x???x?x0?lim????A?fx?A?x?x??。
0??lim 如果当X→Xo时，f(x)→0，就称f(x)当X→Xo时的无穷小，记作f?x??0；如
x?x0果当X→Xo时，f(x)的绝对值无限增大，就称函数f(x)当X→Xo时为无穷大，记作
limf?x???。其中，如果当X→Xo时，f(x)向正的方向无限增大，就称函数f(x)当X
x?x0lim→Xo时为正无穷大，记作f?x????；如果当X→Xo时，f(x)向负的方向无限增大，
x?x0就称函数f(x)当X→Xo时为负无穷大，记作
2、无穷小与无穷大的关系
在自变量的同一变化中，如果f(x)为无穷大，那么
limf?x????。
x?x01为无穷小；反之，如果f(x)f(x)为无穷小，那么
1为无穷大。 f(x) 根据这个性质，无穷大的问题可以转化为无穷小的问题。 3、无穷小的性质
性质1：有限个无穷小的代数和为无穷小； 性质2：有限个无穷小的乘积为无穷小； 性质3：有界函数与无穷小的乘积为无穷小。 4、无穷小的比较
设a与b是自变量同一变化中的两个无穷小，记作a=o(b)；
a=0，则称a是比b低阶的无穷小； ba (2) 如果lim=∞, 则称a是比b高阶的无穷小；
b (1)如果lim
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