内容发布更新时间 : 2025/1/24 14:22:12星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

圆锥曲线之最值、范围、存在性问题

题型一 最值问题

[典例] (2016·广州市高考模拟)定圆M：(x＋3)2＋y2＝16，动圆N过点F(3，0)且与圆M相切，记圆心N的轨迹为E．

(1)求轨迹E的方程；

(2)设点A，B，C在E上运动，A与B关于原点对称，且|AC|＝|CB|，当△ABC的面积最小时，求直线AB的方程．

[解] (1)因为点F(3，0)在圆M：(x＋3)2＋y2＝16内，所以圆N内切于圆M． 因为|NM|＋|NF|＝4＞|FM|，

所以点N的轨迹E是以M(－3，0)，F(3，0)为焦点的椭圆，且2a＝4，c＝3，所以b＝1．

x22

所以轨迹E的方程为＋y＝1．

4

(2)①当AB为长轴(或短轴)时，依题意知，点C就是椭圆的上下顶点(或左右顶点)， 1

此时S△ABC＝·|OC|·|AB|＝2．

2②当直线AB的斜率存在且不为0时， 设其斜率为k，直线AB的方程为y＝kx，

x2??4＋y＝1，4k2422

联立方程?可取xA＝，yA＝， 22

1＋4k1＋4k??y＝kx，

2

4?1＋k?222

所以|OA|＝xA＋yA＝．

1＋4k2

2

由|AC|＝|CB|知，△ABC为等腰三角形，O为AB的中点，OC⊥AB，

1

所以直线OC的方程为y＝－x，由

k

??1?y＝－kx，

x22

＋y＝1，4

2

4?1＋k?4222

得xC＝2，yC＝2，所以|OC|＝2．

k＋4k＋4k＋4

4k2

S△ABC＝2S△OAC＝|OA|·|OC|＝

4?1＋k2?

·1＋4k24?1＋k2?

＝k2＋4

．

?1＋4k??k＋4?

2

2

4?1＋k2?

由于222

?1＋4k?＋?k＋4?5?1＋k?22

?1＋4k??k＋4?≤＝，

22

8

所以S△ABC≥，

5

当且仅当1＋4k2＝k2＋4， 即k＝±1时等号成立， 8此时△ABC面积的最小值是．

5

88

因为2＞，所以△ABC面积的最小值为，

55此时直线AB的方程为y＝x或y＝－x． [方法点拨]

圆锥曲线中最值问题的两种类型和两种解法

(1)两种类型

①涉及距离、面积的最值以及与之相关的一些问题；

②求直线或圆锥曲线中几何元素的最值以及这些元素存在最值时确定与之有关的一些问题．

(2)两种解法

①几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来解决；

②代数法，若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可先建立起目标函数，再求这个函数的最值，最值常用基本不等式法、配方法及导数法求解．

[提醒] 求最值问题时，一定要注意对特殊情况的讨论．如直线斜率不存在的情况，二次三项式最高次项的系数的讨论等．

[对点演练]

已知椭圆C的左、右焦点分别为F1(－1,0)，F2(1,0)，且F2到直线x－3y－9＝0的距离等于椭圆的短轴长．

(1)求椭圆C的方程．

(2)若圆P的圆心为P(0，t)(t＞0)，且经过F1，F2，Q是椭圆C上的动点且在圆P外，过点Q作圆P的切线，切点为M，当|QM|的最大值为

32

时，求t的值． 2

x2y2

解：(1)设椭圆的方程为2＋2＝1(a＞b＞0)．

ab|1－9|

依题意可知，2b＝＝4，所以b＝2．

2又c＝1， 故a2＝b2＋c2＝5，

x2y2

故椭圆C的方程为＋＝1．

54

(2)由题意，圆P的方程为：x2＋(y－t)2＝t2＋1， 设Q(x0，y0)，因为PM⊥QM， 所以|QM|＝＝

|PQ|2－t2－1＝

22

x20＋?y0－t?－t－1

1－?y0＋4t?2＋4＋4t2． 4

1若－4t≤－2, 即t≥，

2

当y0＝－2时，|QM|取得最大值， |QM|max＝

32

4t＋3＝，

2

31

解得t＝＜(舍去)．

82若－4t＞－2， 1

即0＜t＜，

2

当y0＝－4t时，|QM|取最大值， 且|QM|max＝1

解得t2＝．

8

12

又0＜t＜，所以t＝．

24综上可知，当t＝232

时，|QM|的最大值为． 42324＋4t2＝，

2