内容发布更新时间 : 2024/12/22 15:26:33星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

应力也是一个不变量。其数学表达式如下：

等效应力在主轴坐标系中定义为

??122(?1??2)2?(?2??3)?(?3??1)2?3J?2

在任意坐标系中定义为

??12(?22x??y)2?(?y??z)2?(?z??x)?6(?xy??22yz??zx)

7. 已知受力物体内一点的应力张量为

?505080????ij??500?75???80?75?30?? （MPa），

1试求外法线方向余弦为l=m=1/2，n=2的斜切面上的全应力、正应力和切应力。解：设全应力为S， sx，

sy, sz分别为S在三轴中的分量，

?Sx??xl??yxm??zxn?S??y?xyl??ym??zyn?S???z??xzl??yzmzn?

则有:

?s?11x=50

2??1+ 502+80

2=106.6 1?1?1sy?=502+02-75

2=-28.0 1s?z=80

2?1?1-752-30

2=-18.7 S2?S22?S2x?Syz 则得到 S ＝111.79 MPa ??Sxl?Sym?Szn 则得到 ?＝26.1 MPa

而?2?S2??2 则得到 ?＝108.7 MPa

8. 已知受力体内一点的应力张量分别为

?0?10????10?0?100?ij??①

??10010??， ?01720?????17200?ij??②

?00100??，

6

??7??ij???4?0?③

?4?100??0??4?? (MPa)

1） 画出该点的应力单元体；

2） 求出该点的应力张量不变量、主应力及主方向、主切应力、最大切应力、等效应力、应力偏张量和应力球张量；

3） 画出该点的应力莫尔圆。 解：1）略 2）在①状态下： J1=

?x+?y+?z=10

2J2=-(?x?y+?y?z+

?z?x)+

?2xy+

?2yz+

?zx=200

J3=?2x?y?z+2

?xy?yz?2zx-(

?x?yz+

?2y?zx+

?z?xy)=0

式

14—10和由

?3?J21??J2??J3?0

??1＝20 ， ?2＝0 ， ?3＝-10

l11?m1?02,n1??12l12?2m2?0n12?2代入公式对于

?1＝20时：

l对于

?2＝0时：

对于

?3＝－10时：

： 主切应力

???1??212?2??10m3?1n3?0l3?0??3??131??2??15???131???32??15

7

?23?? 最大切应力

?2??32??5??等效应力：12?(?1??2)2?(?2??3)2?(?3??1)2?3J2 ＝

700

应力偏张量：

??20?30?10?????40?ij???030??20????100?3??

1?(???11012??3)3(20?0?10)?m＝3＝3 故

???x?203??40y??3

应力球张量：

??1000??3??10?030?????20?10?z??3?003??

239. 某受力物体内应力场为：?x??6xy?c1x， ?y??32c2xy2，z??yz??zx?0，

试从满足平衡微分方程的条件中求系数 c1、

c2、

c3。

xy??c2y3?c3x2y，

8

? ?

解：

??x????6y2?3c1x2;y??y?y??3c2xy

?

??xy?x??2c3y

??yx?y??3c2y2?c3x2

由平衡微分条件：

??6y2?3c1x2?3c22?2y?c3x?0??2c3xy?3c2xy?0

??yxzx??xz??y???zy?z????x??x??z?z?0

?c1?1???c2??2??c3?3

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思考与练习15

1. 陈述下列术语的物理含义：位移，位移分量，线应变，工程切应变，对数应变，主应变，主切应变，最大切应变，应变张量不变量，等效应变，应变增量，应变速率，位移速度。

答：位移：变形体内质点M（x，y，z）变形后移动到M1，我们把它们在变形前后的直线距离称为位移； 位移分量：在坐标系中，一点的位移矢量在三个坐标轴上的投影称为该点的位移分量； 线应变：表示线元的单位长度的变化；

工程切应变：单元体在某一平面内发生了角度的变化；

对数应变：对数应变真实反映变形的累积过程，表示在应变主轴不变的情况下应变增量的总和； 主应变：发生在主平面单位面积上的内力称为主应力； 主切应变：发生在主切平面上的应变；

最大切应变：主切应变中绝对值最大的一个称为最大切应变

应变张量不变量：对于一个确定的应变状态，主应变只有一组值，即主应变具有单值性。由此，应变张量

I1、I2、I3也应是单值的，所以将I1、I2、I3称为应变张量不变量。

等效应变：一个不变量，在数值上等于单向均匀拉伸或压缩方向上的线应变变。

?1。等效应变又称广义应

应变增量：塑性变形是一个大变形过程，在变形的整个过程中，质点在某一瞬时的应力状态一般对应于该瞬时的应变增量

应变速率：单位时间内的应变称为应变速率。 位移速度：质点在单位时间内的位移叫做位移速度。

2. 如何完整地表示受力物体内一点的应变状态？

答：质点的三个互相垂直方向上的9个应变分量确定了该店的应变状态。已知这9个应变分量组成一

??x??ij???yx??zx?ij?个应变张量，用表示，则

态。

?xy?xz???y?yz??zy?z???ij，

即可完整的表示受力物体内的应变状

3. 应变偏张量和应变球张量代表什么物理意义？

答：应变张量可以分解为应变球张量和应变偏张量，应变偏张量表示单元体形状变化，应变球张量表示单元体体积变化。

4. 应变张量和应变偏张量有何关系？

答：应变张量与应力张量具有同样的性质，主要有：

（1）存在三个互相垂直的主方向，在该方向上线元只有主应变而无切应变。用应变，则主应变张量为

?1、?2、?3表示主

??100????ij??0?20??00??3??

主应变可由应变状态特征方程

?3?I1?2?I2??I3?0

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