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15级微积分（一）期末思考题 IV

一、单项选择题（从下列各题四个备选答案中选出一个正确答案，答案错选或未选者，不得分。每小题3分，共15分）.

1．若z?y?f(3x?1)，且已知y?1当时，有z?x，则f(x)?（ ）．

A．x3?1 B．x3?x2?x C．x3?x2 D．x3?3x2?3x 2.已知函数f(x)?e?xlnax在x?1处有极值， 则a?（ ） 2

A．e2 B．2e2 C．e D．2e

3.若y?g(x),且g￠(x0)?5,则当?x?0时，该函数在x?x0的微分dy是（ ）

A．比?x高阶的无穷小 B．与?x同阶的无穷小 C．比?x低价的无穷小 D．与?x等价的无穷小 4.函数f(x)?x?4的间断点有（ ）

(x?1)(x?6)A. 1个 B.2个 C.3个 D. 0个 5. 曲线y?1渐近线的条数为 (

(x?1)3 )．

A．0 B．1 C．2 D． 3

二、填空题（请将下列各小题的正确答案写在答题卷上，在答案前表明题号；每小题3分，共15分）. 1.若函数f(x)??2．函数f(x）1，则f(x)的定义域为＿＿＿＿. 2ln(4?x)2x的单调增加区间为＿＿＿＿. 21?xQ23.某产品收益函数R(Q)?21Q?,那么边际收益函数为 8 .

4.求函数f(x)?3x?2x的上凹区间 13 . 第 1 页 共 3 页

1x5.lim(1?kx)?e?1,则k? x?0 .

三、极限计算题（请写出必要的计算步骤；8分）

ex?1?sinx求 ．limx

x?0(e?1)sinx

四、求函数导数（请写出必要的计算步骤；8分） 已知f(x)?xln(x?x2?1)，求f?(x)

五、求函数微分（请写出必要的计算步骤；8分） 设y?1?x2?xarccosx，求dy

六、求隐函数导数（请写出必要的计算步骤；10分）

dxy已知arctan?lnx2?y2确定函数x??(y),求

xdy

七、（请写出必要的计算步骤；10分）

?x3,x?1 f(x)??，在点x?1处可导，求常数a,b.

?ax?b,x?1

八、求函数高阶导数（请写出必要的计算步骤；10分）

已知y?

2?x, 求y(n) 2?x九、经济应用题（请写出必要的计算步骤；10分） 某种商品的销量Q是单价p的函数：Q?5?1p（单位：万元/件），而总成4本（单位：万元）函数为C?2Q?3,假定市场均衡，问如何定价可获得最大利润？

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最大利润是多少 ？

十、证明题（请写出必要的计算步骤；6分）

（1,3)内可导，证明在（1,3)内存在?、?，使得 设f(x)在?1,3?上连续，在

3f?(?)??2f?(?)

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