内容发布更新时间 : 2024/5/4 20:09:19星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

第16讲 数字谜综合二

兴趣篇

1表示成两个自然数的倒数之和，请给出所有的答案， 41111111答案：??????

4520612881．将

解析：4的约数有1、2、4，从中选出两个互质的约数

11?111???； 44?（1?1）8811?21211 （2）1、2：?????；

44?（1?2）121212611?41411 （3）1、4：?????.

44?（1?4）2020205 （1）1、1：

1111????1中，a、b、c分别代表三个不同的自然数，这三18abc个数的和可能是多少？

2．在算式答案：14

11117++=. abc181111114717111714 若a≥3，则++≤++=<；因此a=2，+=-=；

abc3456018bc18291111114 若b≥5，则+≤+=<，因此b=3或4；

bc563091411141736若b=3，则=-=，即c=9；若b= 4，则=-=，即c=，不

c939c94367解析：设a?b?c，

是整除．

综上，a=2，b=3，c=9，从而a+b+c=14.

3．如图16-1，将图中每一行左右相邻的两数相加，再除以12，将所得的余数写在它们下一行相应的圆圈内，逐行依次进行上面的操作，最后得到最底端的一个数．请问：对于第一行中不同的自然数x，最底端的数一共有多少种取值，分别是什么？

答案：3种，分别是0、4、8

解析：方法一：可以在每个圆圈上填入它上面相邻两个数的和，得到最后的结果后再求它除以12的余数．

求4x?68除以12的余数，即4x?8除以12的余数，可能是0、4、8． 方法二：在算底端这个数时，顶层的第一个数算了C04=1次，第二个数算了

C1第三个数算了C2第四个数算了C3第五个数算了C4 4=4，4=6次，4=4次，4=1次；

因此底端的数是1?1?x?4?5?6?7?4?9?1=4x?68，除以12的余数可能是0、4、8．

4．将最小的10个合数填到图16 -2的10个空格中，要求满足以下条件：

①填入的数能被它所在列的最上面给出的数整除； ②第三行中每个数都比它上面那一格中的数大； 请问：第三行中5个数的和最小等于多少？

答案：66

解析：最小的10个合数是：4、6、8、9、10、12、14、15、16、18. 其中5的倍数只有10和15，因此这两个数必须填在第4列，且15在下面； 剩下8个数中3的倍数正好有4个：6、9、12、18；这4个数必须填在第

2列和第5列，而且18必定在第3行，6必定在第2行，因此第3行的两数最小是18和9；

还剩下的4个数：4、8、14、16；填入第1列和第3列，那么第3行的两数最小是16和8；

综上，表中第3行5个数的和最小是15+18+9+16 +8=66.填法如下：

5．如图16 -3，在第一行填入适当的数，使得满足下面两个条件：

①第一行的五个数是连续的自然数（其中一个数已填好）； ②第一行的每相邻两数的最大公约数填入第二行对应的方格中，得

到的第二行的数恰好是1、2、3、4各一个．

答案：第一行按顺序填：97、99、96、100、98

解析：由于第一行中有两个数的最大公约数是4，则这两个数都是4的倍数；5个连续的自然数中最多有两个是4的倍数，而第一行中的100是4的倍数，因此另一个可能是96或104;第一行的5个数可能是96～100或者100～104．

由于第一行中有两个数的最大公约数是3，则这两个数都是3的倍数；而100～104中只有1个数是3的倍数，不合题意；95～100中有2个数是3的倍数，是96和99.因此第一行的5个数是96~100，其中100与96相邻,96与99相邻，

剩下的两个数尝试即可，结果是第一行按顺序填：97、99、96、100、98. 6．请将数字1至9分别填入图16 -4中的各个圆圈中，使得图中每条线段两个端点中所填的数的差（大减小）均为3或4．请给出一种填法，并求出填法的种数．