内容发布更新时间 : 2024/5/18 21:16:58星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

知行合一 知识改变命运，行动成就人生

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例2 有一类小于200的自然数，每一个数的各位数字之和为奇数，而且都是两个两位数的乘积(例如 144=12×12).那么这一类自然数中，第三大的数是____。 分析：根据条件，可以猜测这些两位数的十位数只可能是1，而且两位数中不能出现11，因为11×11=121，11×12=132，11×13=143……乘积的每位数字之和均为偶数，不合题意，应予排除。经过分析，猜测有了一定的范围，于是进行尝试，边尝试边筛选，以求得正确的解答。

10×10=100 10×12=120 10×13=130（不合题意） 10×14=140 10×15=150（不合题意） 10×16=160 下面把不符合题意的情况，不再列举出来。

12×12=144，12×14=168，12×15=180，13×14=182，13×15=195。 把以上符合题意的乘积按从大到小的顺序排列：195、182、180、168、160、144、120、100。第三大的数是180。

答：满足题设条件的自然数中，第三大的数是180。

1例3 把100个人分成四队，一队人数是二队人数的1倍，一队人数是三队人

31数的1倍，那么四队有 人.

4分析：为了统一单位“1”，把条件进行转化：

13“一队人数是二队人数的1倍”转化为：二队人数是一队人数的

3414“一队人数是三队人数的1倍”转化为：三队人数是一队人数的

45 因为人的个数是自然数，根据条件可以知道一队的人数一定是4和5的公

倍数。在100以内的数中4和5的公倍数有 20、40、60……

凭直觉，认为一队人数是20人。如果认定这个猜测是正确的，那么二队 人数为20?34?15人，三队人数为20??16人，则四队人数为： 45 100-20-15-16=49（人）

如果对这个答案有怀疑，不妨再试。若一队人数为40人，则二队人数为

30人，三队人数为32人，这样四个队的人数就超过了100，显然不合题意。因此，第一次尝试的答案是正确的。

解：通过转化条件和尝试求出一队人数为20人.

34 100?20?20??20??49(人)

45 答：四队有49人。

【探索法】当我们要解决某一个较复杂的问题时，可以从这个问题的部分特殊

的情况入手，通过观察、分析、推理，从而探索出普遍的规律，运用这个规律，求得问题的解答。这就是探索法。

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例1 在下面的数表中，第1994行左边第一个数是____。

分析：先看数表中各数排列的情况，表中排列的数是2、3、4、5……等自然数，每行三个数，单行自左往右，双行自右往左。左边每行第一个数按7、13、

19……排，这是一列公差为6的等差数列。通过仔细观察，就会发现一个规律，就是数表左边第一个数等于它所在的行数乘以3加1，即 左边第一个数=行数×3+1

运用这个规律，便能十分迅速地求出第1994行左边第一个数是： 1994×3＋1=5983

这个答案是否正确，可以通过计算验证。

7＋6×(1994÷2－1)=5983 由此证明原答案是正确的。 答：数表中第1994行左边第一个数是5983。

例2 先找出下面数列的排列规律，然后在括号里填上适当的数。 （1） 2，8，32，128，( ) （2） 1，4，5，2，8，10，4，( )，( )。 分析：观察（1）题，发现相邻两个数后一个总是前一个数的4倍，因此括号里应填512。再看第(2)题，可以把每三个数 分为一组，比较组与组之间数字排列的规律， 如图3.33。

通过比较，发现后一组数中每一个数都分别是前一组数中相对应位置的那个数的2倍，因此括号里应填16，20。

解：(1)2，8，32，128，(512)。(2)1，4，5，2，8，10，4，(16)，(20)。 例3 将

3化成小数后，小数点后面第1998位数字是几？ 14分析：我们不必计算到小数点后第1998位，可以从研究部分情况入手，发现规律，进行推理，而求得问题的解答。

33?3?14?0.21428571428571......由此可知，化成小数是一个混循环小数，1414其商可简写成0.2142857.小数点后除2以外，每六位数重复出现一次.根据这个规律便可求得小数点后第1998位数是几.

解：（1998-1）÷6=332……5 由上式可知1998位数字在循环节重复出现332次后的第五位上，因此这个数字是5。

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例4 数一数右图（图3.34）中有多少个三角形。

分析：要知道图3.34有多少个三角形，不妨先分析图3.35这个简单图形。三角形 A′B′C′的 B′C′边上有5个点，线段总数为：4+3+2+1=10

数一数这个图形中正好一共有10个三角形。于是可以知道底边上有多少条线段，便有多少个三角形。

用以上规律来研究三角形ABC中一共有多少个三角形。这个三角形共分为三层，线段AB，DE，FG上都有5个点，从图上可知一层有三角形的个数是 4＋3＋2＋1=10（个）

那么三角形ABC中共有三角形 10×3=30（个） 例5 先观察后计算

13+23=9 (1+2)2=9 13+23+33=36 (1+2+3)2=36 13＋23＋33＋43=100 （1+2＋3＋4)2=100 13＋23＋33+43＋53=225 （1＋2＋3＋4＋5)2=225 …… …… 计算：13＋23＋33＋43＋53＋63＋73＋83=？

分析：通过观察，发现了这样的规律，即从1开始的连续自然数立方之和与这些连续自然数之和的平方。根据这个规律可以巧算出

13＋23+33＋………＋83=（1+2＋3＋……+8)2=362=1296

【染色法】有许多数学问题，可以用不同的颜色来区分事物的不同类别。通过着色把各种条件和问题，形象、直观地显示出来，使分析和处理问题，变得具体和明朗起来，从而使我们能找到一条解决问题的捷径。

例1 图3.36由 18块 1×1的正方形拼成，你能否用9块2×1的长方形将图形盖住。

分析与解：我们将图形中的小方格黑白相间涂色（如图3.37），那么有8块白格和10块黑格。每一块2×1的长方形能够且只能盖住一块白格和一块黑格。

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用8块2×1的长方形覆盖后，余下两块黑格，而余下的那块2×1的长方形是无法盖住2块黑格的。所以9块2×1的长方形无法将题设的图形盖住。 例2 下图（图3.38）为某展览会展室的布局，相邻两室之间有门相通，参观的人能否从入口进入A室依次而入，又不重复地看过各室的展览后，从B室进入出口处？

分析与解：为了说清楚问题，如图（3.39）将各展室黑白相间涂上颜色。不管人们选择什么路线，总是出了白室进黑室，出了黑室进白室。共有16个展室，要经过15道门。从A出发过第1道门进入黑室。过第2道门进入白室，过第3道门进入黑室……，过第15道门进入黑室，而B室是白室。所以想从白室依次而入，不重复地看过各室从B室进入出口是不可能的。

例3 17名科学家每两名都通信讨论问题，在他们的通信中仅讨论三个问题，任何一对科学家只讨论一个问题，那么至少有三个科学家互相通信讨论同一个问题。你能说明这个理由吗？

分析与解：将三个不同问题，用红、黄、蓝三种 颜色表示，17名科学家看作17个点，两点之间 用或红、或黄或蓝的线段相连接表示讨论某个 不同的问题。每一点都要发出16条线段。 由抽屉原理，至少有6条线段同色。如图3.40表示

从点A发出的6条同色线段AA1、AA2、AA3、AA4、AA5、AA6，不妨设这6条线段是红色。

下面考虑A1、A2、A3、A4、A5、A6之间连线的着色情况

（1）若这6点所连线段至少有一条红色，例如A1A2，那么三角形AA1A2三边是红色，表示这三个科学家互相讨论同一个问题。

（2）若这6点间所连线段没有一条红色。那么只能是黄色和蓝色。这6点每一点可发出5条线段。由抽屉原理，至少有三条同色，不妨设为黄色。如图假设A1A2，A1A3，A1A4为黄色。再考虑A2、A3、A4间所连线段的着色情况。 ①若A2、A3、A4间的连线至少有一条黄色，不妨设A2A3为黄色，那么得三角形A1A2A3是三边黄色的三角形，表示这三个科学家讨论同一问题。 ②若A2、A3，A4间的连线没有一条黄色，那么就得一个三边为蓝色的三角形A2A3A4，表示这三个科学家讨论同一问题。由以上讨论可知，无论怎样，至少有三个科学家互相通信讨论同一个问题。