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《高等代数》课程教学大纲 Advanced Algebra

执笔人：颜昌元 编写日期：2012.7 一、 课程基本信息

1. 课程编号： 07010112，07010113 2. 课程性质/类别： 专业基础课 / 必修课 3. 学时/学分： 160 学时 / 10 学分

4. 适用专业： 数学与应用数学、信息与计算科学、统计学

二、 课程教学目标及学生应达到的能力

《高等代数》是大学数学专业三门重要基础课程之一。因其内容的抽象性和理论的结构化及应用之广泛，既是数学在其它学科应用的必需基础课程，又是数学修养的核心课程。

该课程的教学目标是使学生掌握代数基本知识和理论，逐步培养学生的抽象思维能力 和逻辑推理能力，使学生获得较熟练的演算技能与初步的应用能力，为后续专业课程的学习打下基础，适当了解代数的一些历史与背景。

该课程应突出传授数学思想和数学方法，突出高等代数中等价分类、结构分解、同构对应的思想，揭示课程内部本质的有机联系。

在教学过程中根据具体教学内容，帮助学生体会人类认识客观世界的一般规律：从具体个例提升到抽象本质再应用到一般情形，及本课程中体现的唯物主义辩证法；帮助学生体会本课程统一性、简单性、对称性、整齐性、不变性、奇异性等数学的内在美。

三、 课程教学内容与基本要求

本课程开课时间：第一学年（共两学期），共160 学时；其中，第一学期，每周5学 时，共80学时；第二学期，每周5学时，共 80学时。 （一）多项式 (20 学时)

1. 主要内容: （1）数域 （2）一元多项式 （3）整除的概念 （4）最大公因式 （5）因式分解定理 （6）重因式 （7）多项式函数

（8）复系数与实系数多项式的因式分解 （9）有理系数多项式

2. 基本要求:

（1）熟练掌握和应用带余除法定理。

（2）熟练掌握最大公因式和互素的判别方法和性质。 （3）熟练掌握和应用因式分解定理。 （4）掌握不可约多项式的基本性质。 （5）掌握重因式和重根的联系。

（6）掌握复系数和实系数多项式的标准分解式；

（7）掌握有理系数多项式的Gauss 引理，Eisenstein 判别法。 3．自学内容： 无。

4． 课外实践： 无。

（二）行列式（20 学时） 1. 主要内容: （1）排列 （2）n 级行列式 （3）n 级行列式的性质 （4）行列式的计算

（5）行列式按一行（列）展开 （6）克拉默（Cramer）法则

（7）拉普拉斯（Laplace）定理·行列式的乘法规则 2. 基本要求:

(1) 熟练掌握行列式性质，熟练掌握计算行列式基本方法。 （2）掌握行列式按行按列展开定理。 （3）会用 Cramer 法则求线性方程组的解。 （4）了解和应用 Laplace 定理。 （三）线性方程组（15学时） 1.主要内容: （1）消元法 （2）n 维向量空间 （3）线性相关性 （4）矩阵的秩

（5）线性方程组有解判别定理 （6）线性方程组解的结构 2. 教学要求:

（1）熟练掌握求齐次线性方程组的基础解系方法，会应用消元法求线性方程组的通解。 （2）熟练掌握线性方程组解的存在定理与结构定理。

（3）掌握 n 维向量空间的定义及简单性质，掌握 n 维向量线性相关性的概念与性质：向量组的线性组合、线性表示、线性相关、线性无关、等价性、极大线性无关组。 （4）掌握用矩阵的初等变换求向量组的秩、极大线性无关组的方法。

（5）理解矩阵、阶梯形矩阵、行最简形矩阵的概念及矩阵的秩的概念与相关定理。 3．自学内容： 无。

4． 课外实践： 无。

（四） 矩阵（25 学时）

1. 主要内容: （1）矩阵的运算

（2）矩阵乘积的行列式与秩 （3）矩阵的逆 （4）矩阵的分块 （5）初等矩阵

（6）分块乘法的初等变换及应用举例 2. 基本要求:

（1）熟练掌握矩阵运算与运算法则。 （2）熟练掌握矩阵的逆矩阵概念及计算方法。

（3）熟练掌握矩阵的初等变换这一矩阵论的核心内容和方法。 （4）掌握矩阵的秩的一些等式和不等式。 （5）掌握分块矩阵的运算。 （6）掌握矩阵等价标准形的计算。

（7）掌握矩阵的等价分类，化标准形的思想方法。

3．自学内容： 无。

4． 课外实践： 无。

（五） 二次型（15 学时）

1. 主要内容:

(1) 二次型与对称矩阵的对应，二次型的非退化线性替换与对称矩阵的合同关系。 (2) 二次型化简的配方法与初等变换法。

(3) 复二次型的规范形，惯性定理，正惯性指数、负惯性指数、符号差，实二次型的规范形。