内容发布更新时间 : 2024/5/23 2:35:13星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。
数值分析—第一题 陈广华 SY0607109 B班
求解带状矩阵的若干问题
一、任务及求解思路。
1、 求矩阵A的λ1、λ501以及?s。它们满足λ1<λ2<...<λ501，且?s?1）求λ1和λ501
用幂法求出矩阵A的模为最大的特征值λ，1）如果λ＜0，则λ1＝λ，此时以λ为偏移量，求矩阵A－λE的模为最大的特征值??，于是?501?????；2）如果λ＞0，则λ501＝λ，此时以λ为偏移量，求矩阵A－λE的模为最大的特征值??，于是?1?????。
2）求?s。
用反幂法直接求出矩阵A的模为最小的特征值λs。
2、 求矩阵A的与数?k最接近的特征值?ik，其中?k??1?kmin?i。
1?i?501?501??140,k?1,2,?39
求法：以?k为偏移量，用反幂法求矩阵A－?kE的模为最小的特征值即为?ik。
3、 求矩阵A的谱范数条件数cond(A)2和矩阵的行列式的值det(A)。
1）求cond(A)2
由于A为实对称矩阵，且非奇异，所以有
cond(A)2＝
?1 ?n其中λ1和λn分别是矩阵A的模为最大和模为最小的特征值。 由以上结论，再由第一问求得的结果，即可得出cond(A)2。 2）求det(A)
用Doolittle法把A分解为下三角矩阵L和上三角矩阵U，有A＝LU。矩阵L是对角线元素均为1下三角矩阵，所以| L |＝1；矩阵U是上三角矩阵，有| U |＝u11u22?unn，于是有
| A |＝| L || U |＝| U |＝u11u22?unn。
由以上结论，把A用Doolittle法分解为下三角矩阵L和上三角矩阵U，即可得出det(A)。具体到本题中，就是把A中的非零元素经过转存后的矩阵C中的第s+1行元素作连乘积。
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二、全部源程序。（C++语言）
1、函数及其功能
本程序共定义了七个函数，它们的功能如下：
void InitMatrix(double A[M][N],double b,double c)，对矩阵A进行初始化，即为题目中所给矩阵，并且只存储非0元素。
void AbsMaxEigenval(double A[M][N],double &MaxEigenval)，用幂法找出矩阵A的模为最大的特征值MaxEigenval。
void AbsMinEigenval(double A[M][N],double &MinEigenval)，用反幂法找出矩阵A的模为最小的特征值MinEigenval。
void Doolittle(double A[M][N],double x[N], double b[N])，用Doolittle分解法求解线性方程组，返回方程组的解x。在本题中此函数用于帮助求解矩阵行列式、绝对值最小特征值和最大最小特征值。
double Det(double A[M][N])，求矩阵A的行列式的值，用到上一个函数。
void MaMiEigenval(double A[M][N],double &MaxEigenval,double &MinEigenval)，用幂法、反幂法配合平移求解实际最大特征值MaxEigenval和实际最小特征值MinEigenval。
int Max(int x,int y)和int Min(int x,int y)，分别用来求两个整数的较大值和较小值。由于此函数较为简单，故不再在下面进行说明。
2、程序代码：
1、 matrix.h（函数的声明头文件）：
#include
#include
//转化后的矩阵的初始化函数。
void InitMatrix(double A[M][N],double b,double c); //求按模为最大的特征值。
void AbsMaxEigenval(double A[M][N],double &MaxEigenval); //求按模为最小的特征值。
void AbsMinEigenval(double A[M][N],double &MinEigenval); //用Doolittle方法解带状方程组。
void Doolittle(double A[M][N],double x[N], double b[N]); //求带状矩阵的行列式。 double Det(double A[M][N]);
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//求最大和最小的特征值。
void MaMiEigenval(double A[M][N],double &MaxEigenval,double &MinEigenval); 2、 matrix.cpp（函数的源代码）
#include \#include \
//转化后的矩阵的初始化。
void InitMatrix(double A[M][N],double b,double c) { int i = 0; int j = 0; //输入矩阵第一行。 A[i][j] = 0; j++; A[i][j] = 0; j++; for (j=2; j 第 页 共 12 页 3