内容发布更新时间 : 2024/5/3 0:22:12星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

1. 课本p2有证明 2. 课本p8,p12有说明 3. 课本p15,p20有说明

4. Rit2法，设un是u的n维子空间，?1,?2...?n是un的一组基底，un中的任一元素un可

n11n表为un?c?a(un,un)?(f,un)??a(?i,?j)cicj??cj(f,?j)是ii，则J(un)?22i,j?1i?1j?1?nc1,c2...cn的二次函数，a(?i,?j)?a(?j,?i)，令

n?J(un)?0，从而得到c1,c2...cn满足?cjn?a(?,?)ciji?1i?(f,?j),j?1,2...n，通过解线性方程组，求的ci，代入un??ci?i，

i?1从而得到近似解un的过程称为Rit2法

简而言之，Rit2法：为得到偏微分方程的有穷维解，构造了一个近似解，un??c?，

iii?1n利用J(un)?过程

n11na(un,un)?(f,un)??a(?i,?j)cicj??cj(f,?j)确定ci，求得近似解un的22i,j?1j?1Galerkin法：为求得un??c?ii?1ni形式的近似解，在系数ci使un关于V?un，满足意

a(un,V)?(f,V)，对任

V?un或（取

V??j,1?j?nn）

?a(?,?)ciji?1ni?(f,?j),j?1,2...n的情况下确定ci，从而得到近似解un??ci?i的过程称

i?1Galerkin法为 Rit2-Galerkin法方程：

?a(?,?)ciji?1ni?(f,?j)

5. 有限元法：将偏微分方程转化为变分形式，选定单元的形状，对求解域作剖分，进而构

造基函数或单元形状函数，形成有限元空间，将偏微分方程转化成了有限元方程，利用

有效的有限元方程的解法，给出偏微分方程近似解的过程称为有限元法。

6. 解：对求解区间进行网格剖分，节点a?x0?x1...?xi?...?xn?b得到相邻节点xi?1,xi1

之间的小区间Ii?[xi?1,xi]，hi?xi?xi?1，由节点上的一组值u0?0,u1,u2...ul，按线性插值公式un(x)?xi?xx?xi?11

ui?1?ui○ x?Ii,i?1,2...n确定试探空间un，令hihi??Fi(x)?把

x?xi?12○ hiIi变到?轴上的参考但愿[0,1]令N0(?)?1??,N1(?)??则： Un(x)?N0(?)ui?1?N1(?)ui，x?Ii○3将○1带入该函数

J(u)?1b22?(pu?qu?2fu)dx?a2得到：

n1b1n2222??qun)dx???fundxJ(un)??(pu??qu?2fu)dx???(punaIIii22i?1i?1

2可得 带入○

(ui?ui?1)21n1J(un)???[p(xi?1?hi?)?hiq(xi?1?hi?)(N0(?)ui?1?N1(?)ui)2d?2i?10hi

??hi?f(xi?1?hi?)(N0(?)ui?1?N1(?)ui)d?i?10n14 ○

令

?J(un)?aj?1,juj?1?ajjuj?aj?1,juj?1?bj?0?uj5 ○

其中

?a?1[?h?1p(x?h?)]?hq(x?h?)?(1??)]d?j?1jjj?1j?j?1,j?0j1??1a?[?h?j?1,j?0j?1p(xj?hj?1?)]?hiq(xj?hj?1?)?(1??)]d??11?1?aj,j??[?hjp(xj?1?hj?)]?hjq(xj?1?hj?)?]d???[?hj?1?1p(xj?hj?1?)]?hj?1q(xi?hj?1?)(1??)2]d?00??b?h1f(x?h?)?d??h1f(x?h?)(1??)d?j?1?0jj?1?jj?0j?1j从而得到

u1,u2,...,un的线性方程组！

7.矩形剖分假定区域C1可以分割成为有限个互不重叠的矩形的和，且每个小矩形的边和坐

标轴平行，任意两个矩形或者不相交或者有公共的边和公共的顶点，成如此的分割为矩形剖

2

?x?xiy?yi)(1?),(x,y)?Rij?(1??ij???x?y??0,(others)分基函数的取法

其中Rij是以(xi,yj)为顶点的矩形单元 ?x,?y?0为Rij的底和商的长度。

8. 何为三角剖分，基函数怎样取？

三角剖分：设G是多边形域（否则可用多边形域逼近它），将G分割成有限个三角形之

和，使不同三角形无重叠的内部，且任一三角形的顶点不属于其他三角形的内部，这样就把G分割成三角形网，称为G的三角剖分。

基函数的取法：通过构造Lagrange型插值公式可以得到基函数的取法。不妨以P1(x,y)是一次多项式为例，得到P1(x,y)?L1?1?L2?2?L3?3，其中L1是相应于节点1的基函数在△上的限制（具体的过程，可参考课本：P57 P58）

9.题，参考课后习题P

92

的第一题，具体过程可参考积分插值的推导过程

10，11题不会。 在此将14题推导过程介绍如下：

12. 对Possion方程????f(x,y)，建立五点差分格式，并估计截断误差。

取定沿x轴和y轴方向的步长h1和h2，沿x,y方向分别用二阶中心差商代替，则

??h?ij??[?i?1,j?2?i,j??i?1,jh12??i,j?1?2?i,j??i,j?12h2]?fij （五点差分格式）

式中?i,j表示节点(i,j)上的网函数。

令?n(xi,yj)??ij fn(xi,yj)?fij?f(xi,yj) 利用Taylor展式有

?(xi?1,yj)?2?(xi,yj)??(xi?1,yj)h12

??2?(xi,yj)?x246h12??(xi,yj)h14??(xi,yj)????(h16)4612?x360?x?(xi,yj?1)?2?(xi,yj)??(xi,yj?1)h

截断误差为

22??2?(xi,yj)?y224?4?(xi,yj)h2?6?(xi,yj)h26????(h)24612?y360?y412?4?2??Rij(?)???(xi,yj)??n?(xi,yj)??(h14?h24)ij??(h4)??(h2) 12?x?y3