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高中数学必修5《数列》知识点总结及题型分析

1．概念与公式： ①等差数列：

1°.定义：若数列{an}满足an?1?an?d(常数),则{an}称等差数列； 2°.通项公式：an?a1?(n?1)d?ak?(n?k)d; 3°.前n项和公式：公式：Sn?②等比数列：

1°.定义若数列{an}满足n(a1?an)n(n?1)?na1?d. 22an?1，则{an}称等比数列； ?q（常数）

ann?1?akqn?k;. 2°.通项公式：an?a1qa1?anqa1(1?qn)?(q?1),当q=1时Sn?na1. 3°.前n项和公式：Sn?1?q1?q2．简单性质：

①首尾项性质：设数列{an}:a1,a2,a3,?,an,

1°.若{an}是等差数列，则a1?an?a2?an?1?a3?an?2??; 2°.若{an}是等比数列，则a1?an?a2?an?1?a3?an?2??. ②中项及性质：

1°.设a，A，b成等差数列，则A称a、b的等差中项，且A?a?b; 22°.设a,G,b成等比数列，则G称a、b的等比中项，且G??ab. ③设p、q、r、s为正整数，且p?q?r?s, 1°. 若{an}是等差数列，则ap?aq?ar?as; 2°. 若{an}是等比数列，则ap?aq?ar?as; ④顺次n项和性质：

1°.若{an}是公差为d的等差数列，则?a,?a,?akkk?1k?n?12nk?2n?13nnkkn2n3nk组成公差为nd的等差数列；

2

2°. 若{an}是公比为q的等比数列，则?a,?a,?ak?1k?n?1k?2n?1k组成公比为q的等比数列.

n（注意：当q=－1，n为偶数时这个结论不成立）

⑤若{an}是等比数列，

a1a2?an,an?1an?2?a2n,a2n?1a2n?2?a3n组成公比这qn的等比数列. 则顺次n项的乘积：

⑥若{an}是公差为d的等差数列,

1°.若n为奇数，则Sn?na中且S奇?S偶?a中(注:a中指中项,即a中?an?1,而S奇、S偶

22指所有奇数项、所有偶数项的和）； 2°.若n为偶数，则S偶?S奇?nd. 23.正确理解与运用等差、等比数列基本公式

1°.注意①公差d≠0的等差数列的通项公式是项n的一次函数an=an+b;②公差d≠0的等差

2

数列的前n项和公式项数n的没有常数项的二次函数Sn=an+bn;③公比q≠1的等比数列的

n前n项公式可以写成“Sn=a(1-q)的形式；诸如上述这些理解对学习是很有帮助的.

2°．解决等差、等比数列问题要灵活运用一些简单性质，但所用的性质必须简单、明确，绝对不能用课外的需要证明的性质解题.

4．巧设“公差、公比”是解决问题的重要方法

①三数成等差数列，可设三数为“a,a+m,a+2m（或a-m,a,a+m）” ②三数成等比数列，可设三数为“a,aq,aq(或③四数成等差数列，可设四数为：

“a,a?m,a?2m,a?3m(或a?3m,a?m,a?m,a?3m);” ④四数成等比数列，可设四数为“a,aq,aq,aq(或5.由递推公式求通项公式的方法

①an?1?an?f(n)型数列，（其中f(n)不是常值函数)

此类数列解决的办法是累加法，具体做法是将通项变形为an?1?an?f(n)，从而就有

232a，a,aq)” qaa3,?,aq,?aq),” 3qqa2?a1?f(1),a3?a2?f(2),,an?an?1?f(n?1).

?f(n?1)，进而求解。

将上述n?1个式子累加，变成an?a1?f(1)?f(2)?例1. 在数列{an}中,a1?2,an?1?an?2n?1,求an. 解：依题意有a2?a1?1,a3?a2?3,逐项累加有an?a1?1?3?2得：an?n?2n?3。

,an?an?1?2n?3

?2n?3?(1?2n?3)(n?1)?(n?1)2?n2?2n?1，从而求

2②an?1?an?f(n)型数列，（其中f(n)不是常值函数)

此类数列解决的办法是累积法，具体做法是将通项变形为

an?1?f(n)，从而就有anaa2?f(1),3?f(2),a1a2,an?f(n?1) an?1an?f(1)?f(2)?a1?f(n?1)，进而求解。

将上述n?1个式子累乘，变成

12n?3,an??an?1(n?2)，求{an}的通项公式。 32n?1aa1a3a52n?3,将这n?1个式子累乘，得到解：当n?2时，2?,3?,4?,,n?a15a27a39an?12n?1an1?31?311???2，从而an?，当n?1时，a1(2n?1)(2n?1)(2n?1)(2n?1)34n?1111??aa?，所以。 1n224n?134n?1③ an?1?pan?q型数列

例2. 已知数列{an}中a1?此类数列解决的办法是将其构造成一个新的等比数列，再利用等比数列的性质进行求解，构造的办法有两种：一是待定系数法构造，设an?1?m?p(an?m)，展开整理

an?1?pan?pm?m，比较系数有pm?m?b，所以m?bb，所以an?是等比p?1p?1数列，公比为p，首项为a1?b。二是用作差法直接构造，p?1an?1?pan?q,an?pan?1?q，两式相减有an?1?an?p(an?an?1)，所以an?1?an是公

比为p的等比数列。

例3. 在数列{an}中，a1?1，当n?2时，有an?3an?1?2，求{an}的通项公式。 解法1：设an?m?3(an?1?m)，即有an?3an?1?2m

对比an?3an?1?2，得m?1，于是得an?1?3(an?1?1)，即

an?1?3

an?1?1n?1所以数列{an?1}是以a1?1?2为首项，以3为公比的等比数列 则an?2?3?1。

解法2：由已知递推式，得an?1?3an?2,an?3an?1?2,(n?2)，

上述两式相减，得an?1?an?3(an?an?1)，即

an?1?an?3

an?an?1因此，数列{an?1?an}是以a2?a1?4为首项，以3为公比的等比数列。所以

an?1?an?4?3n?1，即3an?2?an?4?3n?1，所以an?2?3n?1?1。