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精品试卷

§2.4 正态分布

学习目标 1.利用实际问题的直方图，了解正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义.2.了解变量落在区间(μ－σ，μ＋σ]，(μ－2σ，μ＋2σ]，(μ－3σ，μ＋3σ]的概率大小.3.会用正态分布去解决实际问题．

知

识点一 正态曲线 思考 函数f(x)＝

12πσ

e?(x??)22?2，x∈R的图象如图所示．试确定函数f(x)的解析式．

答案 由图可知，该曲线关于直线x＝72对称，最大值为象的对称轴为x＝μ， ∴μ＝72，且1＝，∴σ＝10. 2πσ102π

?(x?72)22001102π

，由函数表达式可知，函数图

1

1

e∴f(x)＝

102π

(x∈R)．

梳理 (1)正态曲线 函数φφ

μ，σ

μ，σ

(x)＝

12πσ

e?(x??)22?2，x∈(－∞，＋∞)，其中实数μ，σ(σ>0)为参数，我们称

(x)的图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线．

(2)正态曲线的性质

①曲线位于x轴上方，与x轴不相交； ②曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称； ③曲线在x＝μ处达到峰值

1σ

2π

；

④曲线与x轴之间的面积为1；

⑤当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x轴平移，如图甲所示； ⑥当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越大，曲线越“矮胖”，总体的分布越分散；σ越

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小，曲线越“瘦高”，总体的分布越集中，如图乙所示：

知识点二 正态分布

一般地，如果对于任何实数a，b(a

(x)dx，则称随机

2

变量X服从正态分布．正态分布完全由参数μ和σ确定，因此正态分布常记作N(μ，σ)，如果随机变量X服从正态分布，则记为X～N(μ，σ)． 知识点三 3σ原则

1．正态总体在三个特殊区间内取值的概率值 (1)P(μ－σ

2．通常服从正态分布N(μ，σ)的随机变量X只取(μ－3σ，μ＋3σ)之间的值．

2

2

1．函数φ

μ，σ

(x)中参数μ，σ的意义分别是样本的均值与方差．( × )

2．正态曲线是单峰的，其与x轴围成的面积是随参数μ，σ的变化而变化的．( × ) 3．正态曲线可以关于y轴对称．( √ )

类型一 正态曲线的图象的应用

例1 如图所示是一个正态分布的图象，试根据该图象写出正态分布密度函数的解析式，求出随机变量总体的均值和方差．

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考点 正态分布的概念及性质 题点 求正态分布的均值或方差

1

解 从给出的正态曲线可知该正态曲线关于直线x＝20对称，最大值是，所以μ＝20.由

2π12πσ

＝

12π

，解得σ＝2.于是该正态分布密度函数的解析式是f(x)＝

12π

e?(x?20)24，

x∈(－∞，＋∞)，随机变量总体的均值是μ＝20，方差是σ2＝(2)2＝2.

反思与感悟 利用图象求正态分布密度函数的解析式，应抓住图象的两个实质性特点：一是对称轴为x＝μ，二是最大值为中便可求出相应的解析式．

跟踪训练1 某次我市高三教学质量检测中，甲、乙、丙三科考试成绩的直方图如图所示(由于人数众多，成绩分布的直方图可视为正态分布)，则由如图曲线可得下列说法中正确的一项是( )

12πσ

.这两点确定以后，相应参数μ，σ便确定了，代入f(x)

A．甲科总体的标准差最小 B．丙科总体的平均数最小

C．乙科总体的标准差及平均数都居中 D．甲、乙、丙的总体的平均数不相同 考点 正态分布密度函数的概念 题点 正态曲线 答案 A

解析 由题中图象可知三科总体的平均数(均值)相等，由正态密度曲线的性质，可知σ越大，正态曲线越扁平；σ越小，正态曲线越尖陡，故三科总体的标准差从小到大依次为甲、乙、丙．故选A.

类型二 利用正态分布的对称性求概率

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