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2014-2015学年内蒙古包头市 北方重工三中高二（下）期中数学试

卷（理科）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的． 1．i为虚数单位，复数 A． 2．积分

的值为（ ）

的虚部是（ ） B．

C．

D．

A． 4 B． 6 C． 8 D． 12

3．将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有（ ） A． 12种 B． 10种 C． 9种 D． 8种

4．函数y=x﹣lnx的单调递减区间是（ ）

A． （1，+∞） B． （0，+∞） C． （0，1） D． （﹣1，1）

5．黑白两种颜色的正六形地面砖块按如图的规律拼成若干个图案，则第五个图案中有白色地面砖（ ）块．

2

A． 21 B． 22 C． 20 D． 23

6．函数y=f（x）的图象在点x=5处的切线方程是y=﹣x+8，则f（5）+f′（5）=（ ） A． 0 B． 1 C． 2 D． 3

2

7．由抛物线y=x与直线y=2x围成的封闭图形的面积为（ ） A． 8

B．

C．

D． 4

8．f（x）的导函数f′（x）的图象如图所示，则函数f（x）的图象最有可能的是图中的（ ）

1

A． B． C．

D．

9．由1、2、3、4、5、6组成没有重复数字且1、3、5互不相邻的六位偶数的个数是（ ） A． 108 B． 72 C． 48 D． 36

10．用数学归纳法证明1+

，假设n=k时成立，则当n=k+1

时，不等式左边增加的项数是（ ）

k

A． 1 B． k﹣1 C． k D． 2

11．现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张．从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张，不同取法的种数为（ ） A． 484 B． 472 C． 252 D． 232

32

12．已知f（x）=x﹣6x+9x﹣abc，a＜b＜c，且f（a）=f（b）=f（c）=0．现给出如下结论：

①f（0）f（1）＞0； ②f（0）f（1）＜0； ③f（0）f（3）＞0； ④f（0）f（3）＜0．

其中正确结论的序号是（ ） A． ①③ B． ①④ C． ②③ D． ②④

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．

2

13．若不等式x+x+a＞0对任意x∈R恒成立，则a的取值范围是 ．

2

14．若复数z=（m﹣m﹣2）+（m+1）（i为虚数单位）为纯虚数，其中m∈R，则m= ．

15．从3名骨科、4名脑外科、5名内科医生中选派4人组成一个医疗小组，求骨科、脑外科、内科医生都至少有一人的选派方法有 种（用数字作答）．

32

16．已知函数f（x）=﹣x+ax﹣4在x=2处取得极值，若m，n∈[﹣1，1]，则f（m）+f′（n）的最小值是 ．

2

三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．已知复数z=﹣（1）复数的模； （2）

18．设定义在（0，+∞）上的函数f（x）=ax+（Ⅰ）求f（x）的最小值；

（Ⅱ）若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y=

19．已知数列

，…，的前n项和为，求a，b的值．

+b（a＞0）

的值．

i，其共轭复数为，求

Sn．

（1）计算S1，S2，S3，S4的值，并推测Sn的公式； （2）用数学归纳法证明Sn的公式．

20．现有4个同学去看电影，他们坐在了同一排，且一排有6个座位．问 （1）所有可能的坐法有多少种？

（2）此4人中甲、乙两人相邻的坐法有多少种？（结果均用数字作答）

322

21．已知函数f（x）=x+ax﹣ax+2． （1）若a=1，求y=f（x）的极值； （2）讨论f（x）的单调区间．

22．已知函数f（x）=

+2x，g（x）=lnx．

上单调递增，求a的取值范

（1）设函数F（x）=f（x）﹣g（x），若F（x）在围；

（2）是否存在实数a＞0，使得方程

=f′（x）﹣（2a+1）在区间内有且

只有两个不相等的实数根？若存在，请求出a的取值范围；若不存在，请说明理由．

3