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??31?y，0?y?1所以fY(y)??
0，其他????
?1?x?1?x?0?12．设连续型随机变量X的概率密度f(x)??1?x0?x?1，求E(X),D(X)。
?0其它?
由数学期望的性质与方差的性质
???213．设随机变量X的数学期望E(X)?0，且E?，X?1?2DX?1?????，求：E(X)
??解：由数学期望的性质与方差的性质，
由E?1?21?212?12?1X?1??E?X2??1=2，得E?X2?=6 ?2?21?1?1D?X?1??D?X?=，得D?X?=2
2?2?4E
2?X?=E?X2??D?X??6?2?4，又因为E?X??0，所以
E?X?=2.
14．设随机变量X和Y相互独立，且E(X)=E(Y)=1，D(X)=2，D(Y)=4，求：E(X?Y)2
E?X+Y?=E?X2+2XY+Y2?=E?X2?+2E?XY?+E?Y2?
2
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=D?X?+??E?X???+2E?X?E?Y?+D?Y?+??E?Y???=2+1+2?1?1+4+1=10 （注意：当X,Y独立时，才有E?XY?=E?X?E?Y?）
22
二维随机变量
?Cx2y15．设二维随机变量(X,Y)的概率密度为f(x,y)???0x2?y?1其它
求：（1）确定常数C；（2）求边缘概率密度。 解：首先画出联合概率密度的非零区域（16-19题同）
（1）由
????+?+???f(x,y)dxdy??dx?2Cx2ydy?1， 得C??1x??1121 4（2）fX(x)?????1212?2124??x2xydy,?1?x?1?x?1?x?,?1?x?1f(x,y)dy??4=?8
??0,其他0,其他??fY(y)???????75?y212???yxydx,0?y?1?y2,0?y?1 f(x,y)dx??=?24??0,其他其他??0,
16．设二维连续型随机变量(X,Y)的联合概率密度函数为
?4xy0?x?1,0?y?1， f(x,y)??其它?0（1） 求边缘密度函数fX(x),fY(y)；（2）问X与Y是否独立？（3）求P{Y?X2} 解：
（2）P{Y?X}=2y?x2??1f(x,y)dxdy??dx?4xydy? 0021x2
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?617．设二维随机变量(X,Y)的联合分布密度f(x,y)???0x2?y?x,0?x?1其它
分别求随机变量X和随机变量Y的边缘密度函数。
解： fX(x)??????x2???x26dy,0?x?1??6?x?x?,0?x?1 f(x,y)dy??=?0,其他?其他???0, fY(y)???????y6dx,0?y?1?6??f(x,y)dx???y=???其他??0,?y?y,0?y?10,其他?
?e-y18．设二维连续型随机变量(X,Y)的联合密度函数为f(x,y)???0x?0,y?x其他
求（1）X、Y的边缘分布密度；（2）问X与Y是否独立
???y???xedy,解：（1）fX(x)??f(x,y)dy?????0,?y?y?????0edx, fY(y)??f(x,y)dx??????0,??x?0?e?x,x?0 =?其他?0,其他y?0?ye?y,y?0 =?其他其他?0,（２）当x?0,y?x时，联合概率密度为f(x,y)=e?y，而fX(x)?fY(y)?e?x?ye?y，显然
f(x,y)?fX(x)?fY(y)，故Ｘ与Ｙ不独立．
?4.8y(2?x)0?y?x,0?x?119．设二维随机变量(X,Y)的概率密度为：f(x,y)??
0其它?求：（1）求X、Y的边缘概率密度；（2）X与Y是否独立？
解：
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（1）fX(x)?x?.y(2?x)dy,0?x?1?24.x2(2?x),0?x?1??048 f(x,y)dy??=?0,其他?0,其他??????? fY(y)???????14.8y(2?x)dx,0?y?1?2.4y(3?4y?y2),0?y?1?f(x,y)dx???y=?
0,其他??0,其他?（2）显然当0?x?1,0?y?x时，f(x,y)?fX(x)?fY(y)，故Ｘ与Ｙ不独立
矩估计量
20．设总体X~B?1?p?其中p是未知参数,X1,X2,X3,X4,X5是总体的样本。
求：(1)若样本观测值为1，1，0，1，0， 求样本均值和样本方差。(2) p的矩估计值。
15解：（1）样本均值x=?xi?1?1?1?0?1?0??3
5i?155 样
本
方
差
11?44949?3s=?xi?x????????4i?14?2525252525?1025??2
分
母是n-1
(2)因为X~B(1,p)，即0-1分布. 则p?E(X)，用样本均值x替换总体均值E(X)，得p的
p=x?矩估计值为?3 5
21．设总体X?b(n,p)，试求参数p 的X1X2?Xm为来自总体的简单随机样本，n已知，矩估计量与最大似然估计量。
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E(X)p=E(X)=np解：（1）因为X~B(n,p),即二项分布，且n已知. 则，从而
n11m用样本均值X替换总体均值E(X)，得p的矩估计量为?p=X??Xi.
nnmi?1(2)
因
为
，
X~Bn所p以分布律为
xP{X=x}=Cnpx(1?p)n?x,x=0,1,2,?,n
样
本
X1,m2?mX,似
,X然函
m数为：
mmxinm??xi???xixin?xixiL(p)=?Cnp(1?p)=??Cn??pi?1?(1?p)i?1i?1?i?1?
m?mxi??m???两边取对数，得lnL(p)=ln??Cn????xi?lnp??nm??xi?ln(1?p)
i?1???i?1??i?1?两边对p求导，得
mdlnL(p)?m?1??1=??xi????nm??xi??dpi?1?i?1?p??1?p
dlnL(p)=0，解得p的最大似然估计值为
令
dp则p的最大似然估计量为
1m?p?xi ?nmi?1.
1m1?p?Xi=X?nmi?1n
22. 设总体为X, 期望E?X???,方差D?X???2,X1,X2,???,Xn是取自总体X的一个样本,
21n1n222S?样本均值X??Xi,样本方差S?,证明:是参数的无偏估计量 X?X???ini?1n?1i?1