内容发布更新时间 : 2024/11/20 11:25:47星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。
大学数学之初等数学研究，李长明，周焕山版，高等教育出版社 习题一
1答：原则：（1）A?B
（2）A的元素间所定义的一些运算或基本关系，在B中被重新定义。而且对
于A 的元素来说，重新定义的运算和关系与A中原来的意义完全一致。
（3）在A中不是总能施行的某种运算，在B中总能施行。
(4) 在同构的意义下,B应当是A满足上述三原则的最小扩展,而且由A唯一
确定。
方式：（1）添加元素法；（2）构造法
2证明:(1)设命题能成立的所有c组成集合M。?a=b，?a?1?b?1，?1?M 假设c?M，即ac?bc，则ac??ac?a?bc?b?bc?，?c??M 由归纳公理知M=N，所以命题对任意自然数c成立。
(a?k)c?bc,即ac?kc?bc （2）若a?b，则?k?N，使得a?k?b，由(1)， 则ac (b?m)c?ac,即bc?mc?ac （3）若a>b，则?m?N，使得b?m?a，由(1)， 则ac>bc。 3证明:(1)用反证法：若a?b，则由三分性知a?b,或者a?b。当a?b时，由乘法 单调性知ac?bc. 当a?b时，由乘法单调性知ac （2）用反证法：若a不小于b，则由三分性知a?b,或者a?b。当a?b时，由 乘法单调性知ac?bc. 当a=b时，由乘法单调性知ac=bc.这与ac a?b。 （3）用反证法：若a不大于b，则由三分性知a?b,或者a?b。当a 4. 解：（1）3?1?3??4 3?2?3?1??4??5 3?3?3?2??5??6 3?4?3?3??6??7 3?5?3?4??7??8 （2）3?1?3 3?2?3?1?3?6 3?3?3?2??3?2?3?9 3?4?3?3??3?3?3?12 3?5?3?4??3?4?3?15 5证明：当n=1时，4?15n?1?18是9的倍数。 假设当n=k时4?15k?1是9的倍数。 则当n=k+1时4k?1kn?15（k?1）?1?（44k?15k?1）?45k?18是9的倍数。 则对?n?N，4?15n?1是9的倍数. n 6证明：当n?1时，1?41?2n=?3，=?3；则当n?1时成立。 11?2n44441?2k假设当n?k时成立，即(1?)(1?)(1?)……… (1?)= 21925（2k?1）1?2k44444当n?k?1时，(1?)(1?)(1?)……… (1?)（） 1?221925（2k?1）（2k?1）1?2k43?2k1?（2k?1）=（1?）= ??21?2k1?2k1?（2k?1）（2k?1）当n?k?1时成立。 2，则x?3x?1?0 7解：（1）?????3，????1 （2）?????1?3，????1?3 ?An?2??n?2??n?213??n??n13??n?2??n??n?2??n13 ??n??n13?11?n?（????1）??n?（????1）13 ??n??n13?3?n?1??n?113?3An?1?An； （3）当n=1时，A3??3??313?10是10的倍数。 假设当n=k时A3k?则当n=k+1时 ?3k??3k13是10的倍数。 A（3k?1）?3k?1）3k?1）k?（??（?3k??3??3k??3（?3k??3k）?3??3（?3??3）13??13?13 ?3k??3k13?3?10?3k 则对?n?N，A3n是10的倍数. ??q，r?Z，使得b?aq，c?ar，则kb?kaq，lc?lar；8证明：?a|b，a|c； （kq?lr）a；?a|kb?lc。 ?kb?lc? ?k?N，使得b?a?k，9证明：假设存在b，使得a?b?a?1,由a?b得， ，则b?a?1；，则b?a?k?a?1；即b?a?1；若k?1若k?1 . 因此b?a?1是不可能的10证明：设a?qq1q，b?2，c?3，（p1，p2，p3?Z，q1，q2，q3?Z*）； p1p2p3q（qq）qq2q3q1q2q3（q1q2)q3?）??123?1（?）?a(bc) p1p2p3（p1p2）p3p（1p2p3）p1p2p3（则a(bc)= 11答:(1)加法,乘法,减法; 构成数环 (2)乘法,除法; (3)加法,乘法; (4)加法,乘法; (5)加法,乘法,除法; (6)乘法; (7)加法,乘法,减法;构成数环 (8)加法,乘法,减法;构成数环 12 证明：方法一?a1a2a3a?????n 即a2b1?a1b2,??anb1?a1bn b1b2b3bn?a1?a2???ana1（a1?a2???an）b1?a（1b1?b2???bn）?? b1?b2???bnb1（b1?b2???bn）b1（a2b1-a1b2）???（anb1?a1bn）?0 （b1?b2???bn）b1a1a2a3a?????n 即a1bn?anb1,??，an-1bn?anbn-1 b1b2b3bna1?a2???anan（a1?a2???an）bn?a（nb1?b2???bn）?? b1?b2???bnbn（b1?b2???bn）bn（a1bn-anb1）???（an-1bn?anbn-1）?0 （b1?b2???bn）bnaa1aaaa?p,n?q,则由p=1?2?3???n=q得， b1bnb1b2b3bn ? ? ? ?方法二：设 a1?b1p， a2?b2p，???an?bnp； a1?b1q， a2?b2q，???an?bnq； 则 b1p?b2p???bnpa1?a2???anb1q?b2q???bnq?< b1?b2???bnb1?b2???bnb1?b2???bna1?a2???anaa?a2???anan?q.则1?1?.\\ b1?b2???bnb1b1?b2???bnbn3434即p?13．（1）1.2?10?1.53?10?5003.6?1.2?10?1.5?10?5003.6?1.9?10; 4