内容发布更新时间 : 2024/5/5 6:24:33星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

所以A?a.

14. 证明：增函数的不连续点最多只有可数多个.

证明 设f是(??,??)上的增函数，记不连续点全体为E，由数学分析知： ⑴

?x?0 任意

x?(??,??)，

?x?0limf(x??x)?f(x?0)及

limf(x??x)?f(x?0)都存在。

，若x1,x2?Ef(x1?0)?f(x1?0)?f(x2?0)?f(x2?0).

任

意

⑵ x?E的充分必要条件为f(x?0)?f(x?0). ⑶

15. 试找出使（0，1）和?0,1?之间1—1对应的一种方法.

解 记（0，1）中有理数全体R??r1,r2,?x1?x2，则

?

??(0)?r1??(1)?r?2 令 ?

?(r)?r,n?1,2,?n?2?n?1?中无理数，??(x)?x,x为?0， 显然?是（0，1）和?0,1?之间的1—1映射。

16. 设A是一可数集合，则A的所有 有限子集所成的集合亦必可数.

~ 证明 设A??x1,x2,??，A的有限子集的全体为A,An??x1,x2,?,xn?，An的子

~~~?~~n集全体为An，易计算An中共有2个元素，而A??An，因此A至多为可

~数的.又A中一个元素组成的集合是可数的，因而A是可数的.

17. 证明：?0,1?上的全体无理数做成的集合其基数为C.

n?1 证明 记?0,1?上的无理数全体为A，?0,1?上的有理数全体为?r1,r2,??，显然

?22?2,,?,,???A B??23n?? 令 ?(22)?, n?1,2,? 2nn?12)?rn, n?1,2,? 2n?1 ?(x)?x, x?B.

则?是A到?0,1?的1—1对应，由?0,1?的基数为C，可知A的基数也是C。

?(

18. 若集A中每个元素，由互相独立的可数个指标决定，即A?ax1,x2,?，而每个xi取遍

??一个基数为C的集，

则A的基数也是C。

证明 设xi?Ai，Ai?c，i?1,2,?，因而有Ai到实数集R的1—1映射?i.令?是

A到E?的 一映射，对任意ax1,x2,??A。?(ax1,x2,?)?(?1(x1),?2(x2),?)，下面证明?是1—1映射.

若?(ax1,x2,?)??(ax1?,x?2,?)，则对任意i，?i(xi)??i(xi?)，由于?i是一对一

的

，

因

此

xi?xi?，

所

，所以

以有

ax1,x2,??ax1?,x?2,?ax1,x2,?，对，

任意使

(a1,a2,a3,?)?E?,ai?R,i?1,2,?，因为?i是映上的，必有xi?Ai，使

?i(xi)?ai12?A?(ax,x,?)?(?1(x1),?2(x2),?)(a1,a2,a3,?)，即?是1—1映射.所以A与E?的基数相同，等于C。

19. 若

??An?0n的基数为C，证明：存在n0使An0的基数也是C.

证明 由于E??c，我们不妨设

?An?0?n?E?，用反证法，若An?c，n?1,2,?，

设Pi为E?到R中如下定义的映射：若x?(x1,x2,?)?E?则pi(x)?xi，令

xi?Pi(Ai)，i?1,2,?

** 则Ai?Ai?c，i?1,2,?，所以对每个i，存在?i?R\\Ai，于是

??(?1,?2,?)?E?.下证???An.事实上，若???An，则存在i使??Ai，于是

n?0n?0???i?Pi(?)?Pi(Ai)?Ai，这与?i?R\\Ai矛盾，所以???An?E?，这又与

**?n?0??(?1,?2,?)?E?矛盾，因此至少存在某个i0使Ai的基数也是C.

0

20. 记每项取值为0或1的数列全体所成的集合为T，求证T的基数为C.

?1,?2,???i?0或1,i?1,2,? 证明 设T?? 作T到E?的映射?:(?1,?2,?)?(?1,?2,?)，则?是T到E?的子集?(T)的

??1—1映射，所以A?E??c.反之，(0,1]区间与2进位无穷小数正规表示1—1对应，所以则f是(0,1]到T的子集f((0,1])上的1—1映射，因而T?(0,1]?c.综上所述得A?c。

每个x?(0,1]都可唯一的写成x?0.?1?2?，其中每个?i?0或1，令f(x)???1,?2,??，