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九年级第一轮复习 ----- 数与式

第一部分

《 数学课程标准》 的考查要求

一、 实数

1.

. 在具体环境中， 理解实数及其运算的意义。 . 能用数轴上的点表示实数， 会比较实数的大小。

. 借助数轴理解相反数和绝对值的意义， 会求相反数与绝对值。 . 了解平方根， 算术平方根， 立方根， 无理数和实数， 近似数， 有效数字的概念。 会求某些数（ 非负数） 的平方根与某些数的立方根。

2.

3.

4. 5.

. 会估算一个无理数的范围。

. 能运用实数及其运算法则解决简单的实际问题。

6. 二、 代数式 1. ． 会根据实际问题列代数式， 理解代数式的含义，能理解一些简单代数式的实际背景或几何意义， 体会数学与现实世界的联系。 2.

． 理解合并同类项和去括号法则， 并会进行运算。

． 会求代数式的值， 能解释值的实际意义，能根据代数式的值推断代数式反映的规律。

3. 4. ． 根据数量关系或图形关系寻找规律， 分析， 归纳， 总结两变量间的关系。

5. ． 整式加减在运算时要注意同类项的识别和合并同类项的方法；在整式的乘除运算中要注意理解和区分幂的运算性质， 记住乘法公式， 理解其特点和应用范围。

6. ． 弄清因式分解与整式乘法的区别，并加强对基本类型的练习。会用提公因式法， 公式法进行因式分解。

7.

． 会利用分式的基本性质进行约分和通分。 会进行简单的分式加， 减， 乘， 除运算。

第二部分 考点分析

省份 题号 题型 分值 1 选择题 3 2 选择题 3 7 填空题 3 考点 乘方的意义 分式的定义 相反数的概念 相关的其它考点 所占比例

2007 年河南 8 填空题 3 12 填空题 3 13 填空题 3 整式的运算 实数的意义 数的规律探究题 绝对值的意义 科学记数法的概念 实数 分式的运算 相反数的概念 平方根的意义 代数式的运算 相反数的概念 科学记数法的概念 因式分解 实数的运算 整式的运算 实数的运算 15% 2008 年河南 1 选择题 3 2 选择题 3 7 填空题 3 16 解答题 8 1 选择题 3 7 填空题 3 9 填空题 3 16 解答题 8 1 选择题 4 14% 2009 年河南 14% 分式的运算 分式的定义 2 选择题 4 2009 年北京 7 选择题 4 13 解答题 5 16 解答题 5 18% 整体思想 特殊三角函数值 1 选择题 3 3 选择题 3 2009 年天津 11 填空题 绝对值的意义，二次根式 乘方的意义，非负数 二次根式的运算 分式的意义，分式的运算 相反数的概念 幂的运算 科学记数法的概念 实数的运算 实数的运算 乘方的意义 乘方的意义 实数的意义及相关概念 实数的意义 倒数的意义 分式的运算 实数的运算 幂的运算 科学记数法的概念 分式的运算 3 10% 一元二次方程 12 填空题 3 1 选择题 4 2 选择题 4 2009 年重庆 11 填空题 4 17 解答题 6 21 解答题 10 19% 1 选择题 2 2 选择题 2 4 选择题 2 13 填空题 3 16 填空题 3 19 解答题 8 幂的运算，整式的运算 概率 2009 年河北 7 选择题 2 18% 1 选择题 3 13 填空题 4 18 解答题 7 2009 年山东 2 选择题 3 14%

数与式是初中数学的基础，中考着重对基本概念和计算能力的考查，题型以选择、填空及简单的解答题为主。题量一般在 3 个左右。分值在 17 分左右，所占比例为 14%（指河南省）。近几年，出现更多贴近学生生活实际、探究规律的开放型问题、估算无理数的大致范围等热点题目，强化了实数的应用和规律探索问题，并注意数形结合、分类讨论思想的应 用和创新意识的培养。分式的化简求值常常在河南中招试卷中以解答题的形式考查，以探索 规律，写出公式是方式考查学生思维过程和数学思想方法的应用题目越来越成为热点。

第三部分 典型例题

作者：牛保中 高玉平

第一节 实数

典例 1．把下列各数分别填入相应的集合里.

? ?3 ，21.3，－1，1.234，－

?2

22 7

,0， sin 60 , ? 9 , ? ?

?1 8 3 ， ?

??2

, 8 ,

( 2 － 3 ) 0 ， 3，1.2121121112 …中

无理数集合｛

整数集合 ｛ ｝ ｝ 负分数集合｛ 非负数集合｛ ｝ ｝

点拨： 实数分类不能只看表面形式，应先化简再根据结果去判断。变式 1：把下列各数填入相应的集合内：

? 7.5,

15,

4,

8 , 13

2 , 3

3

8, ?,

0.25,

?5??0.12 ?

?3.14 ， ? ， sin 45， 4 。 3,

3

有理数集{ }，无理数集{ }正实数集{ }

变式 2.：在下面两个集合中各有一些实数，请你分别从中选出 2 个有理数和 2 个无理数，

再用“ ＋，－，×，÷”中的 3 种符号将选出的 4 个数进行 3 次运算，使得运算结果是一个正整数。

典例 2：在 2008 年北京奥运会国家体育场的“鸟巢”钢结构工程施工建设中，首次使用了

我国科研人员自主研制的强度为 4.581 亿帕的钢材.4.581 亿帕用科学记数法表示为 帕（保留两个有效数字）.

点拨： 对大数保留有效数字，可以先将这些数用科学记数法表示出来，再保留有效数字。

8 ，故填 4.6×10 8 。 解：4.581 亿＝458100000，用科学记数法表示为 4.581×10

变式 1：北京 2008 奥运的国家体育场“鸟巢”建筑面积达 25.8 万平方米，用科学记数法表

示为（ ）

A. 25.8 ?10㎡

4

B . 25.8 ?10㎡ C . 2.58 ?10㎡

5 5

D. 2.58 ?10㎡

6

变式 2：由四舍五入法得到的近似数3.10 ?10，它精确到

效数字是

。

4

位。这个近似值的有

4 ? y 2 ? 6 y ? 9 ? 0 ，若 axy ? 3xy ? y, 则实数 a 的值是 典例 3 ：已知 x，y 是实数， 3x ? ( A.

)

1 4

B. ? 1

C.

7

D. ?

7

4 4 4

3x ? 4 ? ( y ? 3)2 ? 0 . 4 ? y 2 ? 6 y ? 9 ? 0 ，得 解：由 3x ?

?3x ? 4 ? 0

? ?

??y ? 3 ? 0

4?

x ? ? ??解得??3

?? y ? 3

4 4 1 4

a= . 将 x ? ? ，y=3 代入 axy ? 3y ? y ，得(? ) ? 3a ? 3(??) ? 3 ，从而

3 3 3 4

答案：选 A.

4 ? ( y ? 3)2 ? 0 ，根据非负数的性质，得 3x+4=0 点拨： 将已知的第一个等式变为： 3x ? 及 y-3=0，可求得 x，y 的值，代入已知的第二个等式，便可求出 a 的值.

变式 1：已知△ABC 的三边长分别为 a, b, c, 且a, b, c, a? 6a ? 9 ??b ? 4 ? c ? 4 ? 0 ，试

判断△ABC 的形状．

2

ab 的值等于 变式 2：若实数 a 和 b 满足 b ? a ? 5 ???a ? 5 ,则

0 ＋（ ） ?1 ＋∣5－ 典例 4 计算：（?－1）

1

2

解：?（?0 ＝1，－1） （

27 ∣－2 3 .

点拨： 对实数运算的考查往往是一些基础概念的理解和运用，解题时应注意运算顺序。

1

?（?

0 ＋（ －1）

2

1 2

?1 ＝2，∣5－ ）

27 ∣＝3 3 ? 5 .

?1 ＋∣5－ ）

27 ∣－2 3

＝1＋2＋3 3 －5－2 3

＝ 3 －2.

变式 1：计算： ?6 ? (1? 3)? (?3)

0 2

? 1 ? ?0 ?

变式 2：计算： ? 2 ? ? ??? (? ? 2007)? 2 sin 45?

? 2 ??? ?2

典例 5： 将(?sin 30), (??2)0 ， (??3)3 ，这三个实数按从小到大的顺序排列，正确的

?1

结果是（ ）

?203

B. (? sin 30?) ? (??3) ? (??2 )

?230

A. (? sin 30?) ? (??2 ) ? (??3)

C. (??3)3 ? (??2 )0 ? (? sin 30?) ?2 D. (??2 )0 ? (??3)3 ? (? sin 30?) ?2

答案：C

点拨：比较实数的大小，有许多种方法可供选者，如求商 画数轴等，具体方法根据题目特征而定。

变式 1：已知0 ? x ? 1，那么在

12

中，最大的数是 . x, , x , x x

变式 2：已知 x ＜0， y ＞0，且 y ＜ x ，用“＜”连结 x ，－ x ，－ y ， y 。

典例 6 有一列数 a1 ， a2 ， a3 ，?， an ，从第二个数开始，每一个数都等于1与它前面那

个数的倒数的差，若 a1 ? 2 ，则 a2007 为（ ） Ａ． 2007 答案：C

点拨： 解决数字规律问题，应从简单的特例开始，分析存在的普遍规律

再利用规律解决问题。

Ｂ． 2 Ｃ． 1

2

Ｄ． ?1

典例 7 先观察下列等式，然后用你发现的规律解答下列问题。

1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? ，… ＝ － ， ＝1－ ， 3? 4 3 4 2 2 ? 3 2 3 1? 2

1 1 1 1 1 ＋ ＋ ＋ ＋ . （1） 计算 1? 2 2 ? 3 3? 4 4 ? 5 5? 6

1 1 1 1

（2） 探究

1? 2

＋ 2 ? 3 3? 4

＋

＋…＋ n(n ?1)

＝

.（用含有 n 的式子

表示） (3)若 1 ?

117 ? ? …＋ 的值为 ，求 n 的值.

1? 3 3? 5 5? 7 (2n ?1)(2n ?1) 35

1

1

点拨： 通过给出的三个特殊的式子，可以发现相邻两自然数积的倒数等于这两个数的倒数

的差，解决数字规律问题时，应从简单的特例开始，分析存在的普遍规律，再利用规律解决问题。

＝1? ? ? ? ? ? ? ? ??解：(1)原式

1 1 1 1 1 1 1 1 1

＝ ＝ 2 2 3 3 4 4 5 5 6

1 1－ 5 ， 6

6

1 1 1 1 1 1 1 ? ? ? ? ? …＋ ??＝1?

（2）原式

2 2 3 3 4 n n ?1

1

＝1－ n ?1 n

＝ n ?1 1 1 1 1 1 1 1 1

（3）原式＝ ? (1? ) ? ? ( ? ) ? ? ( ??) ? …

2 3 2 3 5 2 5 7