内容发布更新时间 : 2024/12/23 18:22:27星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。
题型专题(十七) 圆锥曲线的方程与性质
[师说考点] 圆锥曲线的定义
(1)椭圆：|PF1|＋|PF2|＝2a(2a>|F1F2|)； (2)双曲线：||PF1|－|PF2||＝2a(2a<|F1F2|)；
(3)抛物线：|PF|＝|PM|，点F不在直线l上，PM⊥l于M.
x2y2
[典例] (1)(2016·天津高考)已知双曲线2－2＝1(a＞0，b＞0)的焦距为25，且双曲
ab线的一条渐近线与直线2x＋y＝0垂直，则双曲线的方程为( )
A.－y＝1 B．x－＝1 443x3y3x3yC.－＝1 D.－＝1 205520
[解析] 选A 由焦距为25得c＝5.因为双曲线的一条渐近线与直线2x＋y＝0垂直，
2
2
2
2
x2
22
y2
b1x22222
所以＝.又c＝a＋b，解得a＝2，b＝1，所以双曲线的方程为－y＝1.
a24
(2)(2016·沈阳模拟)已知抛物线x＝4y的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，过P作PA⊥l于点A，当∠AFO＝30°(O为坐标原点)时，|PF|＝________.
[解析] 法一：令l与y轴的交点为B，在Rt△ABF中，∠AFB＝30°，|BF|＝2，所以|AB|＝
2323142
.设P(x0，y0)，则x0＝±，代入x＝4y中，得y0＝，而|PF|＝|PA|＝y0＋1＝. 3333法二：如图所示，∠AFO＝30°，∴∠PAF＝30°，
2
又|PA|＝|PF|，∴△APF为顶角∠APF＝120°的等腰三角形， 243|AF|4而|AF|＝＝，∴|PF|＝＝.
cos 30°3334
[答案] 3[类题通法]
求解圆锥曲线标准方程的思路方法
(1)定型，就是指定类型，也就是确定圆锥曲线的焦点位置，从而设出标准方程．
(2)计算，即利用待定系数法求出方程中的a，b或p.另外，当焦点位置无法确定时，抛物线常设为y＝2ax或x＝2ay(a≠0)，椭圆常设为mx＋ny＝1(m>0，n>0)，双曲线常设为mx－ny＝1(mn>0)．
[演练冲关]
1．已知椭圆中心在原点，焦点F1，F2在x轴上，P(2，3)是椭圆上一点，且|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等差数列，则椭圆方程为( )
A.＋＝1 B.＋＝1 86166C.＋＝1 D.＋＝1 84164
2
2
2
2
2
2
22
x2y2x2y2
x2x2
y2y2
x2y2
解析：选A 设椭圆的标准方程为2＋2＝1(a>b>0)．
ab43
由点(2，3)在椭圆上得2＋2＝1 ①.
ab又|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等差数列， 则|PF1|＋|PF2|＝2|F1F2|，
c1
即2a＝2·2c，＝ ②.
a2
又∵c＝a－b ③，联立①②③得a＝8，b＝6. 即椭圆方程为＋＝1.
86
2．(2016·广州模拟)已知以F为焦点的抛物线y＝4x上的两点A，B满足弦AB的中点到抛物线准线的距离为________．
解析：设A(xA，yA)，B(xB，yB)，∵
，∴xA＋1＝2(xB＋1)，又xAxB＝1，∴xA＝2，
2
2
2
2
2
2
x2y2
，则
12＋
21xA＋xB9
xB＝，弦AB的中点到抛物线准线的距离为＋1＝＋1＝.
2224
9答案：
4
[师说考点]
1．椭圆、双曲线中，a，b，c之间的关系
c(1)在椭圆中：a＝b＋c，离心率为e＝＝
a2
2
2
?b?1－??； ?a??b?1＋??. ?a?
2
2
c(2)在双曲线中：c＝a＋b，离心率为e＝＝a2
2
2
x2y2b2．双曲线2－2＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y＝±x.注意离心率e与渐近线的斜率的
aba关系．
[典例] (1)(2016·全国乙卷)以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A，B两点，交C的准线于D，E两点．已知|AB|＝42，|DE|＝25，则C的焦点到准线的距离为( )
A．2 B．4 C．6 D．8
[解析] 选B 设抛物线的方程为y＝2px(p>0)，圆的方程为x＋y＝r. ∵|AB|＝42，|DE|＝25， 抛物线的准线方程为x＝－，
2
2
2
2
2
p?4??p?∴不妨设A?，22?，D?－，5?. ?p??2?
?4??p?222
∵点A?，22?，D?－，5?在圆x＋y＝r上，
?p??2?
16??p＋8＝r，16p∴?∴＋8＝＋5，∴p＝4(负值舍去)．
p4p＋5＝r，??4
2
2
2
2
2
2
∴C的焦点到准线的距离为4.
x2y2
(2)(2016·全国甲卷)已知F1，F2是双曲线E：2－2＝1的左，右焦点，点M在E上，MF1
ab1
与x轴垂直，sin∠MF2F1＝，则E的离心率为( )
3
3
A.2 B. C.3 D．2
2
[解析] 选A 法一：作出示意图，如图，离心率e＝＝
c2c|F1F2|
＝， a2a|MF2|－|MF1|
223|F1F2|sin∠F1MF2
由正弦定理得e＝＝＝＝2.故选A.
|MF2|－|MF1|sin∠MF1F2－sin∠MF2F11
1－3
b2
法二：因为MF1与x轴垂直，所以|MF1|＝. a1|MF1|1
又sin∠MF2F1＝，所以＝，即|MF2|＝3|MF1|.由双曲线的定义得2a＝|MF2|－|MF1|
3|MF2|32bc222222
＝2|MF1|＝，所以b＝a，所以c＝b＋a＝2a，所以离心率e＝＝2.
2
aa[类题通法]
应用圆锥曲线性质的2个注意点
(1)明确圆锥曲线中a，b，c，e各量之间的关系是求解问题的关键．