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跳跃—扩散模型资产定价公式的数值计算方法
作者：张鸿雁,李 强,张 志 来源：《经济数学》2010年第02期
摘 要 假定资产价格变化过程服从跳跃扩散过程,那么基于它的欧式期权就满足一个偏积分微分方程(PIDE),本文利用差分法来离散这个PIDE方程,用两种迭代方法得到方程的数值解:基于雅可比正则分裂法和预条件共轭梯度法.
关键词 跳跃扩散模型;差分法;FFT算法;欧式看涨期权 中图分类号 O241.82文献标识码:A
引 言
美国芝加哥大学教授Black和Scholes[1]在1973年发表了“The Pricing of Options and Corporate Liabilities”一文,提出了著名的
期权定价公式,在
公式中,假设股票
的价格过程是连续的几何布朗运动,但是,在现实市场中,一些突发情况会引起股票价格发生跳跃.基于上述考虑,Merton在1976年首先提出了跳跃扩散模型,在Merton模型中,资产价格在没有受到外界重大影响时服从布朗运动,当资产价格受到突发事件的影响而发生跳跃时,就用跳跃过程来描述.
本文首先介绍PIDE[2]的具体形式,在Merton模型下对其差分离散,得到一个Toeplitz矩阵方程,用两种方法解这个矩阵方程,一是基于雅可比正则分裂的迭代方法[3-4],二是预条件共轭梯度方法.考虑到Toeplitz[5]矩阵的特殊性,在迭代的过程中,将其植入到一个循环矩阵中,利用循环矩阵和向量的乘积来计算Toeplitz和向量的乘积,而循环矩阵向量乘积可以通过快速富里叶变换(FFT)快速计算,这样就加快了迭代速度.共轭梯度法是解决Toeplitz线性方程组的主要方法之一,在利用共轭梯度法的情况下,快速傅里叶变换的作用是加快共轭梯度法的迭代速度,但不改变其收敛速度,共轭梯度法的收敛速度取决于线性方程组系数矩阵的条件数,基于此考虑,本文采用预条件共轭梯度算法,选用R.Chan优化循环预条件器[6],预条件器的使用是为了改善系数矩阵的条件数,以便提高收敛速度. 2 跳跃扩散模型
假设市场是完备无套利的市场,在跳跃扩散模型下,资产的价格变化过程服从随机微分方程
-
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其中,υ(t)是漂移率,σ(t)是波动率,ω(t)标准布朗运动是1-独立的.
由文献[7]可知,在上述假设下,基于资产价格S与时间τ的未定权益V(S,τ)满足
--
的概率是
函数,是一个随机变量,用ζ表示平均跳跃幅度E(η-1),泊松过程
是泊松过程
的概率
是泊松到达强度,η-1是由S跳跃到Sη的跳跃幅度
与布朗运动ω(t)是相互
式中,t=T-τ是到期时间为T的时间,r是无风险利率,g(η)是跳跃幅度η的密度函数. 对式(2)的积分部分进行指数变量变换,令
再对其余部分进行变换,令f(y)是跳跃幅度
(t,x)∈[0,T)×R,边界条件 (τ,x)∈
3 Merton模型下的有限差分离散 在
中,由于称为截断点
则
通常限定x的取值范围是
---
-(r---
令u(τ,?)=υ(T-τ,?),则式(4)变为-
的密度函数,则式(3)变为---
--
函数
则式(2)变为
称为截断区域,式(5)中的积分部分可以分割为两部分
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\\
在计算欧式看涨期权的情况下,在R\\
上的积分u(τ,z)
可以进行近似代替
--当x→+
时.(6)
u(τ,x)→0, 当x→-
时
经 济 数 学第 27 卷
第2期张鸿雁等:跳跃扩散模型资产定价公式的数值计算方法 对于式(5)中的积分部分,进行变量变换z=x+y,则 -
定义函数
--- 在模型中
--
在的情况下,有表达式
--
其中是标准分布函数
-
- 考虑时间和空间节点,使--
-(---1),和
-1)k,m=1,…,q,
k=T/q.记-
在[-上用复合梯形原则,有积分近似
--