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突破点2 解三角形

[核心知识提炼]

提炼1 常见解三角形的题型及解法

(1)已知两角及一边，利用正弦定理求解．

(2)已知两边及一边的对角，利用正弦定理或余弦定理求解，解的情况可能不唯一． (3)已知两边及其夹角，利用余弦定理求解． (4)已知三边，利用余弦定理求解. 提炼2 三角形的常用面积公式

设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c ，其面积为S. 111

(1)S＝aha＝bhb＝chc(ha，hb，hc分别表示a，b，c边上的高)．

222111

(2)S＝absin C＝bcsin A＝casin

222

B.

1

(3)S＝r(a＋b＋c)(r为三角形ABC内切圆的半径)．

2

[高考真题回访]

回访1 正、余弦定理的应用

1.(2016·全国卷Ⅰ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a＝5，c＝2，cos

A＝，则b＝( )

23

A.2 C．2

B．3 D．3

22

D [由余弦定理得5＝b＋4－2×b×2×，

31

解得b＝3或b＝－(舍去)，故选D.]

3

2．(2017·全国卷Ⅲ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知C＝60°，b＝6，

c＝3，则A＝________.

362

75° [如图，由正弦定理，得＝，∴sin B＝.

sin 60°sin B2

又c>b，∴B＝45°，

∴A＝180°－60°－45°＝75°.]

4

3．(2016·全国卷Ⅱ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cos A＝，cos C＝

55

，a＝1，则b＝________. 13

2145 [在△ABC中，∵cos A＝，cos C＝， 13513312

∴sin A＝，sin C＝，∴sin B＝sin(A＋C)

5133541263

＝sin Acos C＋cos Asin C＝×＋×＝.

51351365631×

6521abasin B又∵＝，∴b＝＝＝.] sin Asin Bsin A313

5回访2 三角形的面积问题

π

4．(2013·全国卷Ⅱ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b＝2，B＝，C6π

＝，则△ABC的面积为( ) 4A．23＋2 C．23－2

B.3＋1 D.3－1

ππππ7π

B [∵B＝，C＝，∴A＝π－B－C＝π－－＝.

646412由正弦定理＝，得sin Bsin C2c即＝，∴c＝22. 1222

117π

∴S△ABC＝bcsin A＝×2×22sin ＝3＋1.故选B.]

2212回访3 正、余弦定理的实际应用

5．(2014·全国卷Ⅰ)如图2-1，为测量山高MN，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点．从

bc＝，

π πsin sin

64

2cA点测得M点的仰角∠MAN＝60°，C点的仰角∠CAB＝45°以及∠MAC＝75°；从C点测

得∠MCA＝60°.已知山高BC＝100 m，则山高MN＝________m.

图2-1

150 [根据图示，AC＝1002 m.

在△MAC中，∠CMA＝180°－75°－60°＝45°. 由正弦定理得＝?AM＝1003 m.

sin 45°sin 60°在△AMN中，＝sin 60°， ∴MN＝1003×

3

＝150(m)．] 2

ACAMMNAM

热点题型1 正、余弦定理的应用

题型分析：利用正、余弦定理解题是历年高考的热点，也是必考点，求解的关键是合理应用正、余弦定理实现边角的互化．

cos Acos Bsin C【例1】 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且＋＝.

abc(1)证明：sin Asin B＝sin C；