内容发布更新时间 : 2024/5/18 8:25:19星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

第四章 常微分方程数值解

[课时安排] 6学时 [教学课型] 理论课 [教学目的和要求]

了解常微分方程初值问题数值解法的一些基本概念，如单步法和多步法，显式和隐式，方法的阶数，整体截断误差和局部截断误差的区别和关系等；掌握一阶常微分方程初值问题的一些常用的数值计算方法，例如欧拉（Euler）方法、改进的欧拉方法、龙贝－库塔（Runge-Kutta）方法、阿达姆斯（Adams）方法等，要注意各方法的特点及有关的理论分析；掌握构造常微分方程数值解的数值积分的构造方法和泰勒展开的构造方法的基本思想，并能具体应用它们导出一些常用的数值计算公式及评估截断误差；熟练掌握龙格－库塔（Ｒ－Ｋ）方法的基本思想，公式的推导，Ｒ－Ｋ公式中系数的确定，特别是能应用“标准四阶Ｒ－Ｋ公式”解题；掌握数值方法的收敛性和稳定性的概念，并能确定给定方法的绝对稳定性区域。 [教学重点与难点]

重点：欧拉方法，改进的欧拉方法，龙贝－库塔方法。 难点：R—K方法，预估-校正公式。 [教学内容与过程]

4.1 引言

本章讨论常微分方程初值问题

(4.1.1)

的数值解法，这也是科学与工程计算经常遇到的问题，由于只有很特殊的方程能用解析方法求解，而用计算机求解常微分方程的初值问题都要采用数值方法.通常我们假定(4.1.1)中f(x,y)对y满足Lipschitz条件，即存在常数L＞0，使对

则初值问题(4.1.1)的解存在唯一.

假定(4.1.1)的精确解为

，求它的数值解就是要在区间上求

的近似

上的一组离散点.通常取的顺序逐步

，有

(4.1.2)

，h称为步长，求(4.1.1)的数值解是按节点

推进求得

.首先，要对方程做离散逼近，求出数值解的公式，再研究公式的局部截

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断误差，计算稳定性以及数值解的收敛性与整体误差等问题. 4.2 简单的单步法及基本概念

4.2.1 Euler法、后退Euler法与梯形法

求初值问题(4.1.1)的一种最简单方法是将节点的导数

代替，于是(4.1.1)的方程可近似写成

用差商

(4.2.1)

从出发，由(4.2.1)求得

的近似

再将

，一般写成

代入(4.2.1)右端，得到

称为解初值问题的Euler法.

(4.2.2)

Euler法的几何意义如图4-1所示.初值问题(4.1.1)的解曲线y=y(x)过点从

出发，以

为斜率作一段直线，与直线，再从出发，以

交点于

，显然有上一点

，

为斜率作直线推进到

.

，其余

类推，这样得到解曲线的一条近似曲线，它就是折线

2

Euler法也可利用的Taylor展开式得到，由

略去余项，以

，就得到近似计算公式(4.2.2).

另外，还可对(4.1.1)的方程两端由到积分得

若右端积分用左矩形公式，用，，则得(4.2.2).

如果在(4.2.4)的积分中用右矩形公式，则得

称为后退(隐式)Euler法.若在(4.2.4)的积分中用梯形公式，则得

称为梯形方法.

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(4.2.3)

(4.2.4)

(4.2.5)

(4.2.6)