内容发布更新时间 : 2024/5/19 5:55:58星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

1．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点为B（2，1），且过点A（0，2），直线y=x与抛物线交于点D，E（点E在对称轴的右侧），抛物线的对称轴交直线y=x于点C，交x轴于点G，EF⊥x轴，垂足为F，点P在抛物线上，且位于对称轴的右侧，PQ⊥x轴，垂足为点Q，△PCQ为等边三角形

（1）求该抛物线的解析式； （2）求点P的坐标； （3）求证：CE=EF；

（4）连接PE，在x轴上点Q的右侧是否存在一点M，使△CQM与△CPE全等？若存在，试求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．[注：3+2

=（

+1）2]．

【分析】（1）根据抛物线的顶点是（2，1），因而设抛物线的表达式为y=a（x﹣2）

2

+1，把A的坐标代入即可求得函数的解析式；

（2）根据△PCQ为等边三角形，则△CGQ中，∠CQD=30°，CG的长度可以求得，利用直角三角形的性质，即可求得CQ，即等边△CQP的边长，则P的纵坐标代入二次函数的解析式，即可求得P的坐标；

（3）解方程组即可求得E的坐标，则EF的长等于E的纵坐标，OE的长度，利用勾股定理可以求得，同理，OC的长度可以求得，则CE的长度即可求解；

（4）可以利用反证法，假设x轴上存在一点，使△CQM≌△CPE，可以证得EM=EF，即M与F重合，与点E为直线y=x上的点，∠CEF=45°即点M与点F不重合相矛盾，故M不存在．

【解答】解：（1）设抛物线的表达式为y=a（x﹣2）2+1，将点A（0，2）代入，得a（0﹣2）2+1=2，

解这个方程，得a=，

∴抛物线的表达式为y=（x﹣2）2+1=x2﹣x+2； （2）将x=2代入y=x，得y=2 ∴点C的坐标为（2，2）即CG=2， ∵△PCQ为等边三角形 ∴∠CQP=60°，CQ=PQ， ∵PQ⊥x轴， ∴∠CQG=30°， ∴CQ=4，GQ=2∴OQ=2+2

．

，PQ=4，

将y=4代入y=（x﹣2）2+1，得4=（x﹣2）2+1 解这个方程，得x1=2+2∴点P的坐标为（2+2

=OQ，x2=2﹣2，4）；

＜0（不合题意，舍去）．

（3）把y=x代入y=x2﹣x+2，得x=x2﹣x+2 解这个方程，得x1=4+2∴y=4+2

=EF

，4+2， ，

）

，x2=4﹣2

＜2（不合题意，舍去）

∴点E的坐标为（4+2∴OE=又∵OC=

∴CE=OE﹣OC=4+2∴CE=EF； （4）不存在．

=4+4=2，

如图，假设x轴上存在一点，使△CQM≌△CPE，则CM=CE，∠QCM=∠PCE

∵∠QCP=60°， ∴∠MCE=60° 又∵CE=EF， ∴EM=EF，

又∵点E为直线y=x上的点， ∴∠CEF=45°，

∴点M与点F不重合．

∵EF⊥x轴，这与“垂线段最短”矛盾， ∴原假设错误，满足条件的点M不存在．

【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，以及等边三角形的性质，解直角三角形，反证法，正确求得E的坐标是关键．

2．二次函数图象的顶点在原点O，且经过点A（1，）；点F（0，1）在y轴上．直线y=﹣1与y轴交于点H． （1）求二次函数的解析式；

（2）点P是（1）中图象上的点，过点P作x轴的垂线与直线y=﹣1交于点M，求证：点M到∠OFP两边距离相等；

（3）当△FPM是等边三角形时，求P点的坐标．