内容发布更新时间 : 2024/12/23 22:08:58星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。
面C1DE的距离． 【解答】解法一：
证明：（1）连结B1C，ME，∵M，E分别是BB1，BC的中点， ∴ME∥B1C，又N为A1D的中点，∴ND＝A1D， 由题设知A1B1
DC，∴B1C
A1D，∴ME
ND，
∴四边形MNDE是平行四边形， MN∥ED，
又MN?平面C1DE，∴MN∥平面C1DE． 解：（2）过C作C1E的垂线，垂足为H， 由已知可得DE⊥BC，DE⊥C1C， ∴DE⊥平面C1CE，故DE⊥CH，
∴CH⊥平面C1DE，故CH的长即为C到时平面C1DE的距离， 由已知可得CE＝1，CC1＝4， ∴C1E＝
，故CH＝
，
．
∴点C到平面C1DE的距离为解法二：
证明：（1）∵直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面是菱形，
AA1＝4，AB＝2，∠BAD＝60°，E，M，N分别是BC，BB1，A1D的中点． ∴DD1⊥平面ABCD，DE⊥AD，
以D为原点，DA为x轴，DE为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系， M（1，
，2），N（1，0，2），D（0，0，0），E（0，
，0），
＝（﹣1，
），
，0），C1（﹣1，
），
，4），
＝（0，﹣＝（0，
设平面C1DE的法向量＝（x，y，z）， 则
，
取z＝1，得＝（4，0，1）， ∵
?＝0，MN?平面C1DE，
∴MN∥平面C1DE． 解：（2）C（﹣1，
，0），
＝（﹣1，
，0），
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平面C1DE的法向量＝（4，0，1）， ∴点C到平面C1DE的距离： d＝
＝
＝
．
【点评】本题考查线面平行的证明，考查点到平面的距离的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理能力与计算能力，属于中档题． 20．（12分）已知函数f（x）＝2sinx﹣xcosx﹣x，f′（x）为f（x）的导数． （1）证明：f′（x）在区间（0，π）存在唯一零点； （2）若x∈[0，π]时，f（x）≥ax，求a的取值范围． 【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．
【分析】（1）令g（x）＝f′（x），对g（x）再求导，研究其在（0，π）上的单调性，结合极值点和端点值不难证明；
（2）利用（1）的结论，可设f′（x）的零点为x0，并结合f′（x）的正负分析得到f（x）的情况，作出图示，得出结论．
【解答】解：（1）证明：∵f（x）＝2sinx﹣xcosx﹣x， ∴f′（x）＝2cosx﹣cosx+xsinx﹣1
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＝cosx+xsinx﹣1，
令g（x）＝cosx+xsinx﹣1， 则g′（x）＝﹣sinx+sinx+xcosx ＝xcosx， 当x∈（0，当x∴当x＝
）时，xcosx＞0，
时，xcosx＜0， 时，极大值为g（
）＝
＜0，
又g（0）＝0，g（π）＝﹣2， ∴g（x）在（0，π）上有唯一零点， 即f′（x）在（0，π）上有唯一零点；
（2）由（1）知，f′（x）在（0，π）上有唯一零点x0， 使得f′（x0）＝0，
且f′（x）在（0，x0）为正， 在（x0，π）为负，
∴f（x）在[0，x0]递增，在[x0，π]递减， 结合f（0）＝0，f（π）＝0， 可知f（x）在[0，π]上非负， 令h（x）＝ax， 作出图示，
∵f（x）≥h（x），a≤0， ∴a的取值范围是（﹣∞，0]．
【点评】此题考查了利用导数研究函数的单调性，零点等问题，和数形结合的思想方法，难度较大． 21．（12分）已知点A，B关于坐标原点O对称，|AB|＝4，⊙M过点A，B且与直线x+2＝0相切． （1）若A在直线x+y＝0上，求⊙M的半径；
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（2）是否存在定点P，使得当A运动时，|MA|﹣|MP|为定值？并说明理由． 【考点】J9：直线与圆的位置关系．
【分析】（1）由条件知点M在线段AB的中垂线x﹣y＝0上，设圆的方程为⊙M的方程为（x﹣a）
2
+（y﹣a）＝R（R＞0），然后根据圆与直线x+2＝0相切和圆心到直线x+y＝0的距离，半弦长和
22
半径的关系建立方程组即可；
（2）设M的坐标为（x，y），然后根据条件的到圆心M的轨迹方程为y＝4x，然后根据抛物线的定义即可得到定点．
【解答】解：∵⊙M故点A，B且A在直线x+y＝0上， ∴点M在线段AB的中垂线x﹣y＝0上，
设⊙M的方程为：（x﹣a）+（y﹣a）＝R（R＞0），则 圆心M（a，a）到直线x+y＝0的距离d＝又|AB|＝4，∴在Rt△OMB中， d+（|AB|）＝R， 即
①
2
2
2
2
2
2
2
，
又∵⊙M与x＝﹣2相切，∴|a+2|＝R② 由①②解得
或
，
∴⊙M的半径为2或6；
（2）∵线段为⊙M的一条弦，∴圆心M在线段AB的中垂线上， 设点M的坐标为（x，y），则|OM|+|OA|＝|MA|， ∵⊙M与直线x+2＝0相切，∴|MA|＝|x+2|， ∴|x+2|＝|OM|+|OA|＝x+y+4， ∴y＝4x，
∴M的轨迹是以F（1，0）为焦点x＝﹣1为准线的抛物线， ∴|MA|﹣|MP|＝|x+2|﹣|MP| ＝|x+1|﹣|MP|+1＝|MF|﹣|MP|+1，
∴当|MA|﹣|MP|为定值时，则点P与点F重合，即P的坐标为（1，0）， ∴存在定点P（1，0）使得当A运动时，|MA|﹣|MP|为定值．
【点评】本题考查了直线与圆的关系和抛物线的定义，考查了待定系数法和曲线轨迹方程的求法，属难题．
（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）
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22．（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（t为参数）．以坐标原点O为
极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为2ρcosθ+（1）求C和l的直角坐标方程； （2）求C上的点到l距离的最小值． 【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程．
ρsinθ+11＝0．
【分析】（1）把曲线C的参数方程变形，平方相加可得普通方程，把x＝ρcosθ，y＝ρsinθ代入2ρcosθ+
ρsinθ+11＝0，可得直线l的直角坐标方程；
，与曲线C联立，化为关于x的一元二次方程，
（2）写出与直线l平行的直线方程为
利用判别式大于0求得m，转化为两平行线间的距离求C上的点到l距离的最小值．
【解答】解：（1）由（t为参数），得，
两式平方相加，得（x≠﹣1），
∴C的直角坐标方程为由2ρcosθ+
ρsinθ+11＝0，得
（x≠﹣1），
． ；
平行的直线方程为
，
即直线l的直角坐标方程为得（2）设与直线联立
2
2
，得16x+4mx+m﹣12＝0．
2
2
由△＝16m﹣64（m﹣12）＝0，得m＝±4． ∴当m＝4时，直线
．
与曲线C的切点到直线
的距离最小，为
【点评】本题考查间单曲线的极坐标方程，考查参数方程化普通方程，考查直线与椭圆位置关系的应用，训练了两平行线间的距离公式的应用，是中档题． [选修4-5：不等式选讲]（10分）
23．已知a，b，c为正数，且满足abc＝1．证明： （1）++≤a+b+c；
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