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《高等数学A(2)》期末复习题

一.填空题(每题3分，共24分)

1.函数u?arccos(x2?y2)?ln(2x2?2y2?1)的定义域是 2.函数u?x2?2y2?3z2?xy?3x?2y?6z在原点沿OA?(1,2,1)方向的方向导数 为

3.过点(1,2,?1)且平行于直线

yx?1y?1z??的直线方程是 23?1?2u4.设z?xe，则? ?x?y5.设D?{(x,y)|x2?y2?R2}，则积分??De?(x?y)dxdy? . 6.设f(x)?????x?0,??1,， 则其以2?为周期的傅里叶级数在x??处收敛2?1?x,0?x??.22于 .

????????7. 已知 (a?b)?c?2，则[(a?b)?(a?b)]?c? . xn8. 幂级数?(?1)n的收敛半径是 .

4nn?1?n二.单项选择题：(每题3分，共24分) 1.下列各极限都存在,则fy(0,0)定义为( ).

f(0??x,0??y)?f(0??x,0)f(0??x,0)?f(0,0)lim B. ? x?0?x?xf(0??x,0??y)?f(0,0)f(0,0??y)?f(0,0)limlimC. ? D. x?0?x?0?x?xlimA. ?x?02 .函数z?f(x,y)在点(x0,y0)处的两个一阶偏导数都连续是函数f(x,y)在该点处连续的( )条件.

A.必要非充分 B.充分必要 C. 充分非必要 D.非充分也非必要 3. 设函数f(x,y)?2(x?y)?x2?y2的驻点为( ) A. (1,1) B. (?1,1) C. (1,?1) D. (?1,?1)

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4. 函数z?xcos(x?y)，dz?( ).

A. (cos(x?y)?xsin(x?y))dx?xsin(x?y)dy B. (cos(x?y)?xsin(x?y))dx?xsin(x?y)dy

C. (cos(x?y)?xsin(x?y))dx?xsin(x?y)dy D. (cos(x?y)?xsin(x?y))dx?xsin(x?y)dy 5. ?dy?0011?y2f(x,y)dx?( ).

1?x2 A. ?dx?00C. ?dx?0011f(x,y)dy B.

?1?y201dx?f(x,y)dy

01?x2011?x2f(x,y)dy D.

?dx?0f(x,y)dy

6. 设S表示上半球面x2?y2?z2?4, z?0，则曲面积分??Sd?的几何意义是( )

A.上半球体的体积 B. z平面上圆域x2?y2?4, z?0的面积 C.上半球面x2?y2?z2?4, z?0的表面积 D. 以上选项都不对 7. 设?an是正项级数，则下列结论正确的是( )

n?1?nan?0，则级数 A. 若limn???an?1?n收敛

?nan??， 则级数?an发散 B. 若存在非零常数?，使得limn??n?1n2an?0 C. 若级数?an收敛，则limn??n?1??nan?? D. 若级数?an发散，则存在非零常数?，使得limn??n?18. 微分方程y???4y??4y?4x?e2x的特解具有形式( ) A. A?Bx2e2x B. Ax?B?Cx2e2x C. Ax2?Bx?Cx2e2x D. Ax2?B?Cxe2x

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三．（8分） 设函数z(x,y)由方程arctan(xyz)?xy?2z确定，求

四．（10分） 计算三重积分????zdxdydz，其中?是由z?x2?y2与z?2所围的立体。

五．（10分） 计算??zdxdy，其中?是由A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(0,0,1)为顶点的三

??z?z，。 ?x?y角形平面的上侧。

2六．（8分） 设数列{bn}满足bn?0，n?1,2,?，且级数?an收敛，证明级数

n?1??(?1)nn?1?ann?bn2绝对收敛。

七．（8分） 修建一座容积为V，形状为长方体的水池。已知水池侧壁单位面积的造价是池底每单位造价的1/2，问如何设计长，宽，高使它的总造价最低。（用拉格朗日乘数法求解）

八．（8分） 计算曲线积分?(y?3x)2dx?(3x2?y2siny)dy，C为曲线y?x2上

C从点A(?1,1)到点B(1,1)的一段。

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