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人教版新课标普通高中◎数学④ 必修

2.3 平面向量的基本定理及坐标表示

教案 A

第1课时

教学目标

一、知识与技能

1．通过探究活动，理解平面向量基本定理．

2．掌握平面里的任何一个向量都可以用两个不共线的向量来表示，理解这是应用向量解决实际问题的重要思想方法．能够在具体问题中适当地选取基底，使其他向量都能够用基底来表达．

3．了解向量的夹角与垂直的概念，并能应用于平面向量的正交分解中，会把向量的正交分解用于坐标表示，会用坐标表示向量．

二、过程与方法

1．首先通过“思考”，让学生思考对于平面内给定的任意两个向量进行加减的线性运算时所表示的新向量有什么特点，反过来，对平面内的任意向量是否都可以用形如λ1e1+λ2e2的向量表示．

2． 通过教师提出问题，多让学生自己动手作图来发现规律，通过解题来总结方法，引导学生理解“化归”思想对解题的帮助，也要让学生善于用“数形结合”的思想来解决这部分的题．

3．如果条件允许，借助多媒体进行教学会有意想不到的效果．整节课的教学主线应以学生练习为主，教师给予引导和提示．充分让学生经历分析、探究并解决实际问题的过程，这也是学习数学，领悟思想方法的最好载体．学生经历的这种实践活动越多，解决实际问题的方法就越恰当而简捷．

三、情感、态度与价值观

1．在探究过程中，让学生自己动手作图来发现规律，通过解题来总结方法，培养学生对 “化归”、“数形结合”等数学思想的应用．

2． 在让学生经历分析、探究并解决实际问题的过程中，培养学生坚忍不拔的意志，实事求是的科学学习态度和勇于创新的精神. 教学重点、难点

教学重点：平面向量基本定理、向量的夹角与垂直的定义、平面向量的正交分解、平面向量的坐标表示．

教学难点：平面向量基本定理的理解与应用． 教学关键：平面向量基本定理的理解.

教学突破方法：通过问题设置，让学生充分练习，发现规律方法，体现学生的主体地位．

教法与学法导航

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教师备课系统──多媒体教案

教学方法：启发诱导.

学习方法：在老师问题的引导下，学生要充分作图，与小组成员合作探究，发现规律．

教学准备.

教师准备：多媒体、尺规. 学生准备：练习本、尺规. 教学过程

一、创设情境，导入新课

在物理学中我们知道，力是一个向量，力的合成就是向量的加法运算．而且力是可以分解的，任何一个大小不为零的力，都可以分解成两个不同方向的分力之和．将这种力的分解拓展到向量中来，会产生什么样的结论呢？

二、主题探究，合作交流 提出问题

①给定平面内任意两个不共线的非零向量e1、e2，请你作出向量3e1+2e2、e1-2e2．平面内的任一向量是否都可以用形如λ1e1+λ2e2的向量表示呢?

②如上左图，设e1、e2是同一平面内两个不共线的向量，a是这一平面内的任一向量，我们通过作图研究a与e1、e2之间的关系．

师生互动：如上右图，在平面内任取一点O，作OA=e1，OB=e2，OC=a．过点C作平行于直线OB的直线，与直线OA交于点M；过点C作平行于直线OA的直线，与直线OB交于点N．由向量的线性运算性质可知，存在实数λ1、λ2，使得OM=λ1e1，

ON=λ2e2．由于OC?OM?ON，所以a=λ1e1+λ2e2．也就是说，任一向量a都可以表

示成λ1e1+λ2e2的形式．

由上述过程可以发现，平面内任一向量都可以由这个平面内两个不共线的向量e1、e2表示出来．当e1、e2确定后，任意一个向量都可以由这两个向量量化，这为我们研究问题带来极大的方便．

由此可得：平面向量基本定理：

如果e1、e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1、λ2，使a=λ1e1+λ2e2．

定理说明：

（1）我们把不共线的向量e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底; （2）基底不唯一，关键是不共线; 2

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（3）由定理可将任一向量a在给出基底e1、e2的条件下进行分解; （4）基底给定时，分解形式唯一． 提出问题:

①平面内的任意两个向量之间存在夹角吗？若存在，向量的夹角与直线的夹角一样吗？

②对平面内的任意一个向量能否用两个互相垂直的向量来表示？

师生互动：引导学生结合向量的定义和性质，思考平面内的任意两个向量之间的关系是什么样的，结合图形来总结规律．教师通过提问来了解学生总结的情况，对回答正确的学生进行表扬，对回答不全面的学生给予提示和鼓励．然后教师给出总结性的结论：不共线向量存在夹角，关于向量的夹角，我们规定：

已知两个非零向量a和b（如图），作OA=a，OB=b，则∠AOB=θ（0°≤θ≤180°）

叫做向量a与b的夹角．显然，当θ=0°时，a与b同向;当θ=180°时，a与b反向．因此，两非零向量的夹角在区间[0°，180°]内． 如果a与b的夹角是90°，我们说a与b垂直，记作a⊥b．

由平面向量的基本定理，对平面上的任意向量a，均可以分解为不共线的两个向量λ1a1和λ2a2，使a=λ1a1+λ2a2．

在不共线的两个向量中，垂直是一种重要的情形．把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解．如上，重力G沿互相垂直的两个方向分解就是正交分解，正交分解是向量分解中常见的一种情形．

在平面上，如果选取互相垂直的向量作为基底时，会为我们研究问题带来方便．

提出问题

①我们知道，在平面直角坐标系中，每一个点都可用一对有序实数（即它的坐标）表示．对直角坐标平面内的每一个向量，如何表示呢?

②在平面直角坐标系中，一个向量和坐标是否是一一对应的？

师生互动：如图，在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底．对于平面内的一个向量a，由平面向量基本定理可知，有且只有一

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