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2010年高考数学压轴题系列训练含答案及解析详解五

x2y21．（14分）已知椭圆2?2?1(a?b?0)的左、右焦点分别是F1（－c，0）、F2（c，0），Q是椭圆

ab外的动点，满足|F1Q|?2a.点P是线段F1Q与该椭圆的交点，点T在线段F2Q上，并且满足

PT?TF2?0,|TF2|?0.

（Ⅰ）设x为点P的横坐标，证明|F1P|?a? （Ⅱ）求点T的轨迹C的方程；

（Ⅲ）试问：在点T的轨迹C上，是否存在点M， 使△F1MF2的面积S=b2.若存在，求∠F1MF2

cx； a的正切值；若不存在，请说明理由.

（Ⅰ）证法一：设点P的坐标为(x,y).

由P(x,y)在椭圆上，得

b22|F1P|?(x?c)?y?(x?c)?b?2xa

c?(a?x)2.a2222由x?a,知a?ccx??c?a?0，所以 |F1P|?a?x.………………………3分 aa证法二：设点P的坐标为(x,y).记|F1P|?r1,|F2P|?r2,

则r1?(x?c)2?y2,r2?(x?c)2?y2.

cx. ac证法三：设点P的坐标为(x,y).椭圆的左准线方程为a?x?0.

a22由r1?r2?2a,r1?r2?4cx,得|F1P|?r1?a?2 由椭圆第二定义得|F1P|?c，即|F1P|?c|x?a|?|a?cx|.

acaaa2|x?|c

由x??a,知a?ccx??c?a?0，所以|F1P|?a?x.…………………………3分 aa（Ⅱ）解法一：设点T的坐标为(x,y).

当|PT|?0时，点（a，0）和点（－a，0）在轨迹上.

当|PT|?0且|TF2|?0时，由|PT|?|TF2|?0，得PT?TF2. 又|PQ|?|PF2|，所以T为线段F2Q的中点.

在△QF1F2中，|OT|?1|F1Q|?a，所以有x2?y2?a2. 2综上所述，点T的轨迹C的方程是x2?y2?a2.…………………………7分 解法二：设点T的坐标为(x,y). 当|PT|?0时，点（a，0）和点（－a，0）在轨迹上.

当|PT|?0且|TF2|?0时，由PT?TF2?0，得PT?TF2. 又|PQ|?|PF2|，所以T为线段F2Q的中点. x??c?x?,??2设点Q的坐标为（x?,y?），则 ??y?y?.?2?

?x??2x?c,因此? ①

?y??2y.由|F1Q|?2a得(x??c)2?y?2?4a2. ② 将①代入②，可得x2?y2?a2.

综上所述，点T的轨迹C的方程是x2?y2?a2.……………………7分

（Ⅲ）解法一：C上存在点M（x0,y0）使S=b2的充要条件是

22?x0?y0?a2, ? ?12??2c|y0|?b.?2③ ④

2b2. 所以，当a?b时，存在点M，使S=b2； 由③得|y0|?a，由④得|y0|?cc2当a?b时，不存在满足条件的点M.………………………11分

c2b当a?时，MF1?(?c?x0,?y0),MF2?(c?x0,?y0)， c22由MF1?MF2?x0?c2?y0?a2?c2?b2，

MF1?MF2?|MF1|?|MF2|cos?F1MF2，

S?1|MF1|?|MF2|sin?F1MF2?b2，得tan?F1MF2?2. 22解法二：C上存在点M（x0,y0）使S=b的充要条件是

22③ ?x0?y0?a2, ? ?12??2c|y0|?b.④ ?2

b2b4b2b222. 上式代入③得x0由④得|y0|??a?2?(a?)(a?)?0. cccc2于是，当a?b时，存在点M，使S=b2；

c2当a?b时，不存在满足条件的点M.………………………11分

c

2y0y0当a?b时，记k1?kFM?， ,k?k?2F2M1cx0?cx0?c

由|F1F2|?2a,知?F1MF2?90?，所以tan?FMF?|k1?k2|?2.…………14分

121?k1k22．（12分）

函数y?f(x)在区间（0，+∞）内可导，导函数f?(x)是减函数，且f?(x)?0.

设x0?(0,??),y?kx?m是曲线y?f(x)在点（x0,f(x0)）得的切线方程，并设函数g(x)?kx?m. （Ⅰ）用x0、f(x0)、f?(x0)表示m； （Ⅱ）证明：当x0?(0,??)时,g(x)?f(x)；

3 （Ⅲ）若关于x的不等式x?1?ax?b?x3在[0,??)上恒成立，其中a、b为实数，

222 求b的取值范围及a与b所满足的关系.

（Ⅰ）解：m?f(x0)?x0f?(x0).…………………………………………2分 （Ⅱ）证明：令h(x)?g(x)?f(x),则h?(x)?f?(x0)?f?(x),h?(x0)?0. 因为f?(x)递减，所以h?(x)递增，因此，当x?x0时,h?(x)?0；

当x?x0时,h?(x)?0.所以x0是h(x)唯一的极值点，且是极小值点，可知h(x)的

最小值为0，因此h(x)?0,即g(x)?f(x).…………………………6分

（Ⅲ）解法一：0?b?1，a?0是不等式成立的必要条件，以下讨论设此条件成立. x?1?ax?b,即x?ax?(1?b)?0对任意x?[0,??)成立的充要条件是 a?2(1?b).

另一方面，由于f(x)?3x3满足前述题设中关于函数y?f(x)的条件，利用（II）的结果可知，

222221223ax?b?x3的充要条件是：过点（0，b）与曲线y?3x3相切的直线的斜率大于a，该切线的方程为

22y?(2b)?12x?b.

2

于是ax?b?3x3的充要条件是a?(2b)2.…………………………10分

21