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第5讲 数列的综合应用
等差数列与等比数列的综合问题
(2018·高考浙江卷)已知等比数列{an}的公比q>1，且a3＋a4＋a5＝28，a4＋2是
a3，a5的等差中项．数列{bn}满足b1＝1，数列{(bn＋1－bn)an}的前n项和为2n2＋n.
(1)求q的值；
(2)求数列{bn}的通项公式．
【解】 (1)由a4＋2是a3，a5的等差中项得a3＋a5＝2a4＋4，所以a3＋a4＋a5＝3a4＋4＝28，解得a4＝8.
?1?由a3＋a5＝20得8?q＋?＝20，
?
q?
1
解得q＝2或q＝，
2因为q>1，所以q＝2.
(2)设cn＝(bn＋1－bn)an，数列{cn}前n项和为Sn.
??S1，n＝1，由cn＝?解得cn＝4n－1.
?Sn－Sn－1，n≥2，?
由(1)可知an＝2
n－1
，
?1?所以bn＋1－bn＝(4n－1)·???2??1?故bn－bn－1＝(4n－5)·???2?
n－1
，
n－2
，n≥2，
?1?bn－b1＝(bn－bn－1)·(bn－1－bn－2)＋…＋(b3－b2)＋(b2－b1)＝(4n－5)·???2??1?9)·???2?
n－3
1
＋…＋7·＋3.
2
n－2
＋(4n－
1?21?n－21??设Tn＝3＋7·＋11·??＋…＋(4n－5)·??，n≥2，
2?2??2?1?21?n－21?n－111???Tn＝3·＋7·??＋…＋(4n－9)·??＋(4n－5)·??，
22?2??2??2?1?21?n－21?n－111???所以Tn＝3＋4·＋4·??＋…＋4·??－(4n－5)·??，
22?2??2??2?
?1?因此Tn＝14－(4n＋3)·???2?
n－2
，n≥2，
?1?又b1＝1，所以bn＝15－(4n＋3)·???2?
n－2
.
解决等差数列与等比数列的综合问题，关键是理清两个数列的关系．如果同一数列中部分项成等差数列，部分项成等比数列，要把成等差数列或等比数列的项抽出来单独研究；如果两个数列通过运算综合在一起，要从分析运算入手，把两个数列分割开弄清两个数列各自的特征，再进行求解．
已知数列{an}的前n项和为Sn，若an＝－3Sn＋4，bn＝－log2an＋1.
(1)求数列{an}的通项公式与数列{bn}的通项公式；
bn1*(2)令cn＝n＋1＋，其中n∈N，若数列{cn}的前n项和为Tn，求Tn.
2n（n＋1）
解：(1)由a1＝－3a1＋4，得a1＝1， 由an＝－3Sn＋4， 知an＋1＝－3Sn＋1＋4， 1
两式相减并化简得an＋1＝an，
4
?1?所以an＝???4?
n－1
.
?1?bn＝－log2an＋1＝－log2??＝2n. ?4?
n1
(2)由题意知，cn＝n＋.
2n（n＋1）
123n令Hn＝＋2＋3＋…＋n，①
2222112n－1n则Hn＝2＋3＋…＋n＋n＋1，② 22222
11111nn＋2①－②得，Hn＝＋2＋3＋…＋n－n＋1＝1－n＋1.
2222222所以Hn＝2－
nn＋2
2
n.
111111n又Mn＝1－＋－＋…＋－＝1－＝，
223nn＋1n＋1n＋1所以Tn＝Hn＋Mn＝2－
n＋2
2
n＋
nn＋1
.
数列与函数的综合问题
?1? (2020·杭州学军中学高三模拟)已知数列{an}的前n项和Sn＝－an－???2?
2(n∈N)，数列{bn}满足bn＝2an.
(1)求证：数列{bn}是等差数列，并求数列{an}的通项公式； (2)设cn＝log2，数列?
*
n－1
＋
nnan2?25
?的前n项和为Tn，求满足Tn<(n∈N*)的n的最大值．
21?cncn＋2?
?
?1?【解】 (1)在Sn＝－an－??
?2?
n－1
＋2中，令n＝1，
1
可得a1＝S1＝－a1－1＋2，a1＝.
2
?1?当n≥2时，Sn－1＝－an－1－???2?
n－2
＋2，
?1?所以an＝Sn－Sn－1＝－an＋an－1＋???2??1?即2an＝an－1＋???2?
nn－1
.
n－1
，2an＝2
nn－1
an－1＋1.
而bn＝2an，所以bn＝bn－1＋1.
即当n≥2时，bn－bn－1＝1.又b1＝2a1＝1， 所以数列{bn}是首项和公差均为1的等差数列． 于是bn＝1＋(n－1)×1＝n，所以an＝n.
2(2)因为cn＝log2＝log22＝n， 所以
2＝
211
＝－.
n（n＋2）nn＋2
nnanncncn＋2
Tn＝?1－?＋?－?＋?－?＋…＋(－)＋?－?＝1＋2－n＋1－n＋2，
n－1n＋1?nn＋2??3??24??35?
2511125
由Tn<，得1＋－－<，
212n＋1n＋221即
1113＋>. n＋1n＋242
111113＋单调递减，f(4)＝，f(5)＝， n＋1n＋23042
?
1??11??11?
11
?11?
111
又f(n)＝
所以n的最大值为4.
(1)已知函数条件，解决数列问题．此类问题一般利用函数的性质、图象研究数列问题．