内容发布更新时间 : 2024/7/1 8:08:52星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。
第二讲 绝对值与二次根式
【基础知识】 一、绝对值
1、绝对值代数定义：
?a(a?0)?|a|??0(a?0)
??a(a?0)?一个正数的绝对值是它本身； 一个负数的绝对值是它的相反数； 0的绝对值是0。
?a(a?0)?a(a___0) 有时也可以记为：|a|?? 或者??a(a?0)?a(a___0)??2、绝对值几何定义：
一个数a的绝对值就是数轴上表示数a的点与原点的距离，记作|a|.
如：|-2|表示-2的点到原点的距离；|x|则是在数轴上表示x的点到原点的距离。那么|x-1|表示在数轴上(x-1)的点到原点的距离.
显然绝对值是非负数，即|a|?0 3、绝对值的基本性质：
(1)任何一个数的绝对值一定是非负数，即 |a|?0；
(2)若干个非负数的和为零，则每个非负数为零；|a|+|b|+|c|=0，则a=0且b=0且c=0 (3)互为相反数的绝对值相等，即|a|=|-a|
(4)任何一个数的绝对值都大于或等于它本身，即|a|? a；
- 1 -
|-2|-2-1O1|x||x-1|x-1x (5)任何一个数都有唯一的绝对值； (6)绝对值最小的数是零；
(7)两个互为相反数的数的绝对值相等，即 |a|=|-a|；
(8)绝对值为某一正数的数有两个，它们互为相反数。绝对值为零的数只有一个零；
(9)若两个数的绝对值相等，则这两个数相等或互为相反数.
即|a|?|b|?a?b或a?b?0
二、二次根式
1、二次根式的定义：式子a(a?0)叫做二次根式。 2、二次根式的性质： (1)a2?a(a?0) ?|a|????a(a?0)(2)a?0
(3)(a)2?a(a?0) (4)ab?ab(a?0,b?0)；aa?(a?0,b?0) bb(5)a?b?a?b?0 【典型例题】 一、化简求值
例1计算下列各式的值:
022①|3??|；②(1?sin60)；③|1?x?x|;
解: ①∵3<π,即3-π<0,∴|3??|=π-3;
020②(1?sin60)=|1?sin60|?|1?33. |?1?22- 2 -
③1?x?x?(x?x?)?所以|1?x?x2|?1?x?x2
2214313?(x?)2??0 424注: ①化简主要是去绝对值符号, 要去绝对值符号,就得讨论绝对值里面的数或式是正还是负.
②对于含有字母的代数式不一定要分类讨论,二次三项式往往采用“配方法”来判断是不是一个非负数. “配方法”是一种重要的数学方法. 例2 化简x2?|x|?2
解:当x<0时, x2?|x|?2=x?x?2 当x>0时, x2?|x|?2=x?x?2
22?x2?x?2(x?0)所以x?|x|?2??2
?x?x?2(x?0)2注:x的符号可“+”可“-”，还可以为“0”，因此，应该对x进行分类讨论；最后应该有小结，就是把两种结果写在一起，使书写规范.
例3 化简x2?6x?9?x2?2x?1?x2?4x?4 222解:原式=(x?3)?(x?1)?(x?2) ?|x?3|?|x?1|?|x?2|
以下利用零点区间讨论法,显然零值点有-3，1，2三点. 当x≤-3时,原式=(-x-3)+(1-x)+(2-x)=-3x 当-3 当1 ??3x??x?6? 综上所述，原式= ??x?4?3x?(x??3)(?3?x?1) (1?x?2)(x?2)注: 零点区间讨论法是一种重要的数学方法. - 3 -