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海淀区高三年级第一学期期末练习
数学（理科） 2019.1
本试卷共4页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上 作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一
项．
x2y21．双曲线??1的左焦点坐标为
22A．(?2,0)
B．(?2,0)
C．(?1,0)
D． (?4,0)
2.已知向量a,b满足a=(2,0)，b?(t，1)， 且a?b?a，则a,b的夹角大小为 A．
? 6 B．
? 4 C．
? 3 D．
5?12
3.已知等差数列{an}满足a1=2，公差d?0，且a1,a2,a5成等比数列，则d= A． 0
2B．?21 2
C．?1
D．?2 24.直线y?kx+1被圆x?y?2截得的弦长为2，则k的值为 A．
? 6 B．
? 4 C．
? 3 D．
5.已正六边形的6个顶点中的三个座位顶点的三角形中，等腰三角形的个数为
A．6
B．7 C．8
D．12
6.已知函数f(x)=lnx?a，则“a?0”是“函数f(x)在区间(1,??)上存在零点”的 xA充分而不必要条件 B 必要而不充分条件 C 充分必要条件 D既不充分也不必要条件 7.已知函数f(x)?sinx?cosx，g(x)是f(x)的导函数，则下列结论中错误的是 A.函数f(x)的值域与g(x)的值域相同
B.若x0是函数f(x)的极值点，则x0是函数g(x)的零点 C.把函数f(x)的图像向右平移D.函数f(x)和g(x)在区间(??个单位，就可以得到函数g(x)的图像 2,)上都是增函数
??448.已知集合A?(s,t)1?s?50,1?t?50,s?N,t?N.若B?A，且对任意的(a,b)?B，
??(x,y)?B，均有(a?x)(b?y)?0，则集合B中元素个数的最大值为
A．25
二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．
9.以抛物线y2?4x的焦点F为圆心，且与其准线相切的圆的方程为 .
10.执行如下图所示的程序框图，当输入的M值为15，n值为4 时，输出的S值为 .
B．49 C．75
D．99
11.某三棱锥的三视图如上图所示，则这个三棱锥中最长的棱与最短的棱的长度分别为 ， .
?y?x,?12.设关于x,y的不等式组?x?4,表示的平面区域为Ω，若点A（1，-2），B（3,0），C（2，-3）
?y?kx?2,?中有且仅有两个点在Ω内，则k的最大值为 .
13.在?ABC中，b?3a，且cos2A?cosB，则cosA? .
14.正方体ABCD?A1B1C1D1的棱长为1，动点M在线段CC1上，动点P在平面A1B1C1D1上，且AP?平面MBD1.
（Ⅰ）当点M与点C重合时，线段AP的长度为 ； （Ⅱ）线段AP长度的最小值为 .
三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 15．（本小题满分13分）
已知函数f(x)?acos(?x)?cos2x
2（Ⅰ）比较f()和f()的大小；
???62（Ⅱ）求函数f(x)在区间[?,]的最小值.
2216．（本小题满分13分）
为迎接2022年冬奥会，北京市组织中学生开展冰雪运动的培训活动，并在培训结束后对学生进行了考核.记X表示学生的考核成绩，并规定X?85为考核优秀.为了了解本次培训活动的效果，在参加培训的学生中随机抽取了30名学生的考核成绩，并作成如下茎叶图：
（Ⅰ）从参加培训的学生中随机选取1人，请根据图中数据，估计这名学生考核优秀的概率； （Ⅱ）从图中考核成绩满足X?[70,79]的学生中任取3人，设Y表示这3人重成绩满足X?85?10的人数，求Y的分布列和数学期望； （Ⅲ）根据以往培训数据，规定当P(??X?85?1)?0.5时培训有效.请根据图中数据，判断此次中学10生冰雪培训活动是否有效，并说明理由. 17．（本小题满分14分）
在四棱锥P?ABCD中，平面ABCD?平面PCD，底面ABCD为梯形，AB//CD，AD?PC
且AB?1,AD?DC?DP?2,?PDC?1200 （Ⅰ）求证：AD?平面PDC；
（Ⅱ）求二面角B-PD-C的余弦值；
（Ⅲ）若M是棱PA的中点，求证：对于棱BC上任意一点F，MF与PC都不平行.
18．（本小题满分14分）
x2 椭圆?y2?1的左焦点为F，过点M(?2,0)的直线l与椭圆交于不同两点A,B
2（Ⅰ）求椭圆的离心率；
（Ⅱ）若点B关于x轴的对称点为B’，求AB'的取值范围. 19. （本小题满分14分）
a?x2已知函数f(x)?．
ex（Ⅰ）当a??1时，求曲线y?f(x)在点(1,f(1))处的切线方程；
2（Ⅱ）当a?0时，求证：f(x)??对任意x?(0,??)成立.
e20．（本小题满分13分）
设n 为不小于3的正整数，集合?n?(x1,x2,...xn)xi??0,1?,i?1,2,...,n，对于集合?n中的任意元素??(x1,x2,...,xn)，??(y1,y2,...,yn)
记????(x1?y1?x1y1)?(x2?y2?x2y2)?...?(xn?yn?xnyn) （Ⅰ）当n?3时，若??(1,1,0)，请写出满足????3的所有元素? （Ⅱ）设?，???n且???+????n，求???的最大值和最小值；
（Ⅲ）设S是?n的子集，且满足：对于S中的任意两个不同元素?，?，有????n?1成立，求集合S中元素个数的最大值.
??