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第5讲 两角和与差的正弦、余弦和正切
A级 基础演练(时间:30分钟 满分:55分)
一、选择题(每小题5分,共20分) 1.
sin 20°cos 20°
cos 50°=
A.2
B.2
12
C.2
D.2 解析 原式=sin 40°sin 40°1
2cos 50°=2sin 40°=2. 答案 D
2.(2013·汕头调研)若1+cos 2α1sin 2α=2,则tan 2α等于
A.54
B.-5
4
C.4
3
D.-43 1+cos 2α2cos2解析 αcos α1
sin 2α=2sin αcos α=sin α=2, ∴tan α=2,∴tan 2α=2tan α41-tan2α=1-4
=-4
3,故选D. 答案 D
3.若tan??π?4-θ?
??=3,则cos 2θ1+sin 2θ=
A.3
B.-3
C.3
4 D.-34 解析 ∵tan??π?11?θ??=-tan θ
4-1+tan θ=3,∴tan θ=-2.
∴cos 2θ
cos2θ-sin2θ1+sin 2θ=sin2θ+2sin θcos θ+cos2θ 2
1-1=1-tanθ4
tan2θ+2tan θ+1=1
=3. 4-1+1
( ).
( ).
( ).
答案 A
π?4?0<θ
A.3
2
B.-3
1
C.3
1D.-3 4167
解析 ∵sin θ+cos θ=3,∴(sin θ+cos θ)2=1+sin 2θ=9,∴sin 2θ=9,又π
0<θ<4,∴sin θ
二、填空题(每小题5分,共10分) 5.设f(x)=
1+cos 2x?π?2
?x+4?的最大值为2+3,+sin x+asin则常数a=________. ???π?
2sin?2-x?
??
1+2cos2x-1?π?2
?x+4? 解析 f(x)=+sin x+asin
2cos x???π?=cos x+sin x+a2sin?x+4?
??
?π??π??π?22
x+x+????=2sin+asin=(2+a)sin?x+4?. ?4??4???依题意有2+a2=2+3,∴a=±3. 答案 ±3
π?4?
α+6.(2012·江苏)设α为锐角,若cos?=,则 6???5π??
sin?2α+12?的值为________. ??π?4?
解析 ∵α为锐角且cos?α+6?=5,
??π?3π?π2π??
∴α+6∈?6,3?,∴sin?α+6?=5. ????π?π?π????
α+6?-? ∴sin?2α+12?=sin?2?
?4?????π?π?ππ??
α+α+???=sin 2?cos -cos 2sin 6?6?44 ??
π??π?π??2???
=2sin?α+6?cos?α+6?-2?2cos2?α+6?-1?
????????342??4??12272172
=2×5×5-2?2×?5?2-1?=25-50=50.
????答案
172
50 三、解答题(共25分)
xxx1
7.(12分)已知函数f(x)=cos22-sin 2cos 2-2. (1)求函数f(x)的最小正周期和值域; 32
(2)若f(α)=10,求sin 2α的值.
xx1
解 (1)由已知,f(x)=cos-sin cos - 22221112?π?=2(1+cos x)-2sin x-2=2cos?x+4?.
??
?22?
所以f(x)的最小正周期为2π,值域为?-,?.
2??2(2)由(1)知,f(α)=
π?322?
cos?α+4?=, 2??10
2x
π?3?
所以cos?α+4?=5.
??
π???π???
所以sin 2α=-cos?2+2α?=-cos?2?α+4??
??????π?187?
=1-2cos2?α+4?=1-25=25.
??
π?π???
8.(13分)(2012·天津)已知函数f(x)=sin?2x+3?+sin?2x-3?+2cos2x-1,x∈R.
????(1)求函数f(x)的最小正周期;
?ππ?
(2)求函数f(x)在区间?-4,4?上的最大值和最小值.
??
ππππ
解 (1)f(x)=sin 2x·cos3+cos 2x·sin3+sin 2x·cos3-cos 2x·sin3+cos 2x=sin π??
2x+cos 2x=2sin?2x+4?.
??2π
所以,f(x)的最小正周期T=2=π.