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第5讲 两角和与差的正弦、余弦和正切

A级 基础演练(时间：30分钟 满分：55分)

一、选择题(每小题5分，共20分) 1.

sin 20°cos 20°

cos 50°＝

A．2

B.2

12

C.2

D.2 解析 原式＝sin 40°sin 40°1

2cos 50°＝2sin 40°＝2. 答案 D

2．(2013·汕头调研)若1＋cos 2α1sin 2α＝2，则tan 2α等于

A.54

B．－5

4

C.4

3

D．－43 1＋cos 2α2cos2解析 αcos α1

sin 2α＝2sin αcos α＝sin α＝2， ∴tan α＝2，∴tan 2α＝2tan α41－tan2α＝1－4

＝－4

3，故选D. 答案 D

3．若tan??π?4－θ?

??＝3，则cos 2θ1＋sin 2θ＝

A．3

B．－3

C.3

4 D．－34 解析 ∵tan??π?11?θ??＝－tan θ

4－1＋tan θ＝3，∴tan θ＝－2.

∴cos 2θ

cos2θ－sin2θ1＋sin 2θ＝sin2θ＋2sin θcos θ＋cos2θ 2

1－1＝1－tanθ4

tan2θ＋2tan θ＋1＝1

＝3. 4－1＋1

( )．

( )．

( )．

答案 A

π?4?0<θ

A.3

2

B．－3

1

C.3

1D．－3 4167

解析 ∵sin θ＋cos θ＝3，∴(sin θ＋cos θ)2＝1＋sin 2θ＝9，∴sin 2θ＝9，又π

0<θ<4，∴sin θ

二、填空题(每小题5分，共10分) 5．设f(x)＝

1＋cos 2x?π?2

?x＋4?的最大值为2＋3，＋sin x＋asin则常数a＝________. ???π?

2sin?2－x?

??

1＋2cos2x－1?π?2

?x＋4? 解析 f(x)＝＋sin x＋asin

2cos x???π?＝cos x＋sin x＋a2sin?x＋4?

??

?π??π??π?22

x＋x＋????＝2sin＋asin＝(2＋a)sin?x＋4?. ?4??4???依题意有2＋a2＝2＋3，∴a＝±3. 答案 ±3

π?4?

α＋6．(2012·江苏)设α为锐角，若cos?＝，则 6???5π??

sin?2α＋12?的值为________． ??π?4?

解析 ∵α为锐角且cos?α＋6?＝5，

??π?3π?π2π??

∴α＋6∈?6，3?，∴sin?α＋6?＝5. ????π?π?π????

α＋6?－? ∴sin?2α＋12?＝sin?2?

?4?????π?π?ππ??

α＋α＋???＝sin 2?cos －cos 2sin 6?6?44 ??

π??π?π??2???

＝2sin?α＋6?cos?α＋6?－2?2cos2?α＋6?－1?

????????342??4??12272172

＝2×5×5－2?2×?5?2－1?＝25－50＝50.

????答案

172

50 三、解答题(共25分)

xxx1

7．(12分)已知函数f(x)＝cos22－sin 2cos 2－2. (1)求函数f(x)的最小正周期和值域； 32

(2)若f(α)＝10，求sin 2α的值．

xx1

解 (1)由已知，f(x)＝cos－sin cos － 22221112?π?＝2(1＋cos x)－2sin x－2＝2cos?x＋4?.

??

?22?

所以f(x)的最小正周期为2π，值域为?－，?.

2??2(2)由(1)知，f(α)＝

π?322?

cos?α＋4?＝， 2??10

2x

π?3?

所以cos?α＋4?＝5.

??

π???π???

所以sin 2α＝－cos?2＋2α?＝－cos?2?α＋4??

??????π?187?

＝1－2cos2?α＋4?＝1－25＝25.

??

π?π???

8．(13分)(2012·天津)已知函数f(x)＝sin?2x＋3?＋sin?2x－3?＋2cos2x－1，x∈R.

????(1)求函数f(x)的最小正周期；

?ππ?

(2)求函数f(x)在区间?－4，4?上的最大值和最小值．

??

ππππ

解 (1)f(x)＝sin 2x·cos3＋cos 2x·sin3＋sin 2x·cos3－cos 2x·sin3＋cos 2x＝sin π??

2x＋cos 2x＝2sin?2x＋4?.

??2π

所以，f(x)的最小正周期T＝2＝π.