内容发布更新时间 : 2024/12/27 9:42:51星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。
高中数学经典50题(附答案)
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1. 求下列函数的值域：
解法2 令t＝sinx，则f(t)＝－t＋t＋1，∵ |sinx|≤1, ∴ |t|≤1.问题转化为求关于t的二次函数f(t)在闭区间[－1,1]上的最值．
2
本例题(2)解法2通过换元，将求三角函数的最值问题转化为求二次函数在闭区间上的最值问题，从而达到解决问题的目的，这就是转换的思想．善于从不同角度去观察问题，沟通数学各学科之间的内在联系，是实现转换的关键，转换的目的是将数学问题由陌生化熟悉，由复杂化简单，一句话：由难化易．可见化归是转换的目的，而转换是实现化归段手段。
2. 设有一颗慧星沿一椭圆轨道绕地球运行，地球恰好位于椭圆轨道的焦点处，当此慧星离
地球相距m万千米和
4m万千米时，经过地球和慧星的直线与椭圆的长轴夹角分别为3?2和?3，求该慧星与地球的最近距离。
x2y2解：建立如下图所示直角坐标系，设地球位于焦点F(?c,0)处，椭圆的方程为2?2?1ab（图见教材P132页例1）。
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高中数学经典50题(附答案)
?时，由椭圆的几何意义可知，彗星A只3??12/能满足?xFA?(或?xFA?)。作AB?Ox于B，则FB?FA?m
3323当过地球和彗星的直线与椭圆的长轴夹角为
?ca2m?(?c)??ac故由椭圆第二定义可知得?
2?4m?c(a?c?2m)?ac3?3c213?m,?a?2c.代入第一式得m?(4c?c)?c, a32222?c?m.?a?c?c?m.
332答：彗星与地球的最近距离为m万千米。
3两式相减得m?说明：（1）在天体运行中，彗星绕恒星运行的轨道一般都是椭圆，而恒星正是它的一个焦点，该椭圆的两个焦点，一个是近地点，另一个则是远地点，这两点到恒星的距离一个是a?c，另一个是a?c.
（2）以上给出的解答是建立在椭圆的概念和几何意义之上的，以数学概念为根基充分体现了数形结合的思想。另外，数学应用问题的解决在数学化的过程中也要时刻不忘审题，善于挖掘隐含条件，有意识地训练数学思维的品质。
3. A，B，C是我方三个炮兵阵地，A在B正东6Km，C在B正北偏西30，相距4Km，P为敌炮阵地，某时刻A处发现敌炮阵地的某种信号，由于B，C两地比A距P地远，因此4s后，B，C才同时发现这一信号，此信号的传播速度为1Km/s，A若炮击P地，求炮击的方位角。（图见优化设计教师用书P249例2）
解：如图，以直线BA为x轴，线段BA的中垂线为y轴建立坐标系，则
?13B(?3,0),A(3,0),C(?5,23)，因为PB?PC，所以点P在线段BC的垂直平分线上。
因为kBC??3，BC中点D(?4,3)，所以直线PD的方程为y?3?13(x?4) （1）
又PB?PA?4,故P在以A，B为焦点的双曲线右支上。设P(x,y)，则双曲线方程为
x2y2??1(x?0) （2）。联立（1）（2），得x?8,y?53， 45所以P(8,53).因此kPA?53?3，故炮击的方位角北偏东30?。 8?3说明：本题的关键是确定P点的位置，另外还要求学生掌握方位角的基本概念。
4. 河上有抛物线型拱桥，当水面距拱顶5米时，水面宽度为8米，一小船宽4米，高2
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高中数学经典50题(附答案)
米，载货后船露出水面的部分高0.75米，问水面上涨到与抛物线拱顶距多少时，小船开始不能通行？
解：建立平面直角坐标系,设拱桥型抛物线方程为x??2py得P=1.6
2(p?0)。将B（4,-5）代入
?x2??3.2y船两侧与抛物线接触时不能通过
则A(2,yA)，由22=-3.2 yA得yA = - 1.25 因为船露出水面的部分高0.75米 所以h=︱yA︱+0.75=2米
答：水面上涨到与抛物线拱顶距2米时，小船开始不能通行
[思维点拔] 注意点与曲线的关系的正确应用和用建立抛物线方程解决实际问题的技巧。．
5. 如图所示，直线l1和l2相交于点M，l1?l2，点N?l1，以A、B为端点的曲线段C
上任一点到l2的距离与到点N的距离相等。若?AMN为锐角三角形，
AM?17,AN?3,且NB＝6，建立适当的坐标系，求曲线段C的方程。
解：以直线l1为x轴，线段MN的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系，由条件可知，曲线段C是以点N为焦点，以l2为准线的抛物线的一段，其中A、B分别为曲线段C的端点。
设曲线段C的方程为y?2px(p?0)(xA?x?xB,y?0)，其中xA,xB为A、B的横坐标，p?MN，所以M(?2pp,0),N(,0)，由AM?17,AN?3，得22(xA?(xA?p2)?2pxA?17 （1） 24p2，（1）（2）联立解得xA?，代入（1）式，并由p?0 )?2pxA?9 （2）
p2解得??p?2?p?4?p?2p或?，因为?AMN为锐角三角形，所以?xA，故舍去?，所
2?xA?2?xA?1?xA?2?p?4 x?1?AP?4，综上，曲线段C的方程为2以?由点B在曲线段C上，得xB?BN?y2?8x(1?x?4,y?0)
[思维点拔]本题体现了坐标法的基本思路，考查了定义法，待定系数法求曲线方程的步骤，
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