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高考数学 第6讲 空间向量及其运算
A级 基础演练
(时间：30分钟 满分：55分)
一、选择题(每小题5分，共20分) 1．在下列命题中：
①若向量a，b共线，则向量a，b所在的直线平行；
②若向量a，b所在的直线为异面直线，则向量a，b一定不共面； ③若三个向量a，b，c两两共面，则向量a，b，c，共面；
④已知空间的三个向量a，b，c，则对于空间的任意一个向量p总存在实数x，y，z使得p＝xa＋yb＋zc. 其中正确命题的个数是 A．0
B．1
( )．
C．2 D．3
解析 a与b共线，a，b所在直线也可能重合，故①不正确；根据自由向量的意义知，空间任两向量a，b都共面，故②错误；三个向量a，b，c中任两个一定共面，但它们三个却不一定共面，故③不正确；只有当a，b，c不共面时，空间任意一向量p才能表示为p＝xa＋yb＋zc，故④不正确，综上可知四个命题中正确的个数为0，故选A. 答案 A
2．若向量a＝(1,1，x)，b＝(1,2,1)，c＝(1,1,1)，满足条件(c－a)·(2b)＝－2，则x＝
( )．
A．－4 B．－2 C．4 D．2
解析 ∵a＝(1,1，x)，b＝(1,2,1)，c＝(1,1,1)， ∴c－a＝(0,0,1－x)，2b＝(2,4,2)． ∴(c－a)·(2b)＝2(1－x)＝－2，∴x＝2. 答案 D
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3．若{a，b，c}为空间的一组基底，则下列各项中，能构成基底的一组向量是( )． A．{a，a＋b，a－b} C．{c，a＋b，a－b}
B．{b，a＋b，a－b} D．{a＋b，a－b，a＋2b}
解析 若c、a＋b、a－b共面，则c＝λ(a＋b)＋m(a－b)＝(λ＋m)a＋(λ－m)b，则a、b、c为共面向量，此与{a，b，c}为空间向量的一组基底矛盾，故c，a＋b，a－b可构成空间向量的一组基底． 答案 C
4.如图所示，已知空间四边形OABC，OB＝OC，且∠AOBπ→→
＝∠AOC＝3，则cos〈OA，BC〉的值为 ( )． A．0 3
C.2
1B.2 2D.2
→→→
解析 设OA＝a，OB＝b，OC＝c，
π
由已知条件〈a，b〉＝〈a，c〉＝3，且|b|＝|c|，
11→→→→
OA·BC＝a·(c－b)＝a·c－a·b＝2|a||c|－2|a||b|＝0，∴cos〈OA，BC〉＝0. 答案 A
二、填空题(每小题5分，共10分)
5．在下列条件中，使M与A、B、C一定共面的是________． →→→→→1→1→1→①OM＝2OA－OB－OC；②OM＝5OA＋3OB＋2OC； →→→→→→→
③MA＋MB＋MC＝0；④OM＋OA＋OB＋OC＝0；
→→→→→→→→→
解析 ∵MA＋MB＋MC＝0，∴MA＝－MB－MC，则MA、MB、MC为共面向量，即M、A、B、C四点共面． 答案 ③
→→→→→→
6.在空间四边形ABCD中，AB·CD＋AC·DB＋AD·BC＝________.
→→→
解析 如图，设AB＝a，AC＝b，AD＝c，
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→→→→→→AB·CD＋AC·DB＋AD·BC＝a·(c－b)＋b·(a－c)＋c·(b－a)＝0. 答案 0
三、解答题(共25分)
→7．(12分)已知A、B、C三点不共线，对平面ABC外的任一点O，若点M满足OM1→→→＝3(OA＋OB＋OC)．
→→→
(1)判断MA、MB、MC三个向量是否共面； (2)判断点M是否在平面ABC内． →→→→
解 (1)由已知OA＋OB＋OC＝3 OM， →→→→→→∴OA－OM＝(OM－OB)＋(OM－OC)， →→→→→即MA＝BM＋CM＝－MB－MC， →→→
∴MA，MB，MC共面．
→→→
(2)由(1)知，MA，MB，MC共面且基线过同一点M， ∴四点M，A，B，C共面，从而点M在平面ABC内． 8．(13分)如右图，在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1
中，G为△BC1D的重心， (1)试证：A1、G、C三点共线； (2)试证：A1C⊥平面BC1D； (3)求点C到平面BC1D的距离．
→→→→→→→
(1)证明 CA1＝CB＋BA＋AA1＝CB＋CD＋CC1， 1→→1→→→
可以证明：CG＝3(CB＋CD＋CC1)＝3CA1， →→
∴CG∥CA1，即A1、G、C三点共线．
→→→
(2)证明 设CB＝a，CD＝b，CC1＝c，则|a|＝|b|＝|c|＝a， 且a·b＝b·c＝c·a＝0，
→→→→∵CA1＝a＋b＋c，BC1＝c－a，∴CA1·BC1＝(a＋b＋c)·(c－a)＝c2－a2＝0，∴→→
CA1⊥BC1，即CA1⊥BC1，同理可证：CA1⊥BD，因此A1C⊥平面BC1D.
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