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离散数学第二版邓辉文编著第一章第二节习题答案

1.2 映射的有关概念 习题1.2

1. 分别计算?1. 5?，?-1?，?-1. 5?，?1. 5?，?-1?，?-1. 5?. 解 ?1. 5?=2，?-1?=-1，?-1. 5?=-1，?1. 5?=1，?-1?=-1，?-1. 5?=-2.

2. 下列映射中，那些是双射? 说明理由. (1)f :Z →Z , f (x ) =3x . (2)f :Z →N , f (x ) =|x |+1. (3)f :R →R , f (x ) =x 3+1.

(4)f :N ?N →N , f (x 1, x 2) =x 1+x 2+1. (5)f :N →N ?N , f (x ) =(x , x +1).

解 (1)对于任意对x 1, x 2∈Z ，若f (x 1) =f (x 2) ，则3x 1=3x 2，于是x 1=x 2，所以f 是单射. 由于对任意x ∈Z ，f (x ) ≠2∈Z ，因此f 不是满射，进而f 不是双射.

(2)由于2, -2∈Z 且f (2) =f (-2) =3，因此f 不是单射. 又由于0∈N ，而任意x ∈Z 均有f (x ) =|x |+1≠0，于是f 不是满射. 显然，f 不是双射.

(3)对于任意对x 1, x 2∈R ，若f (x 1) =f (x 2) ，则x 1+1=x 2+1，于是x 1=x 2，所以f 是单射. 对于任意y ∈R ，取x =(y -1) ，这时 1??3f (x ) =x +1=?(y -1) 3?+1=(y -1) +1=y ， ??33313

所以f 是满射. 进而f 是双射.

(4)由于(1, 2), (2, 1) ∈N ?N 且(1, 2) ≠(2, 1) ，而f (1, 2) =f (2, 1) =4，因此f 不是单射. 又由于0∈N ，而任意(x 1, x 2) ∈N ?N 均有f (x 1, x 2) =x 1+x 2+1≠0，于是f 不是满射. 显然，f 就不是双射.

(5)由于x 1, x 2∈N ，若f (x 1) =f (x 2) ，则(x 1, x 1+1) =(x 2, x 2+1) ，于是x 1=x 2，因此f 是单射. 又由于(0, 0) ∈N ?N ，而任意x ∈N 均有f (x ) =(x , x +1) ≠(0, 0) ，于是f 不是满射. 因为f 不是满射，所以f 不是双射.

3. 对于有限集合A 和B ，假定f :A →B 且|A |=|B |，证明: f 是单射的充要条件是f 是满射. 对于无限集合，上述结论成立吗？举例说明.

证(?) 因为f 是单射，所以|A |=|f (A ) |. 由于|A |=|B |，所以|f (A ) |=|B |. 又因为B 有限且f (A ) ?B ，故f (A ) =B ，即f 是满射.

(?) 若f 是满射，则f (A ) =B . 由于|A |=|B |，于是|A |=|f (A ) |. 又因为A 和B 是有限集合，因此f 是单射.

对于无限集合，上述结论不成立. 例如f :N →N ，f (x ) =2x ，f 是单射，但f 不是满射.

4. 设f :A →B , 试证明: (1)f I B =f . (2)I A f =f .

特别地，若f :A →A ，则f I A =I A f =f .

证 (1)对于任意x ∈A ，由于f (x ) ∈B ，所以(f I B )(x ) =I B (f (x )) =f (x ) ，因此f I B =f .

(2)对于任意x ∈A ，由于I A (x ) =x ，所以(I A f )(x ) =f (I A (x )) =f (x ) ，于是有I A f =f .

由(1)和(2)知，若f :A →A ，则f I A =I A f =f .

5. 试举出一个例子说明f f =f 成立，其中f :A →A 且f ≠I A . 若f 的逆映射存在，满足条件的f 还存在吗?

解 令A ={a , b , c }，f (a ) =f (b ) =f (c ) =a ，即对于任意x ∈A ，f (x ) =a ，显然f :A →A 且f ≠I A . 而对于任意x ∈A ，有(f f )(x ) =f (f (x )) =f (a ) =a ，因此f f =f .

若f f =f 且f 的逆映射f -1存在，由第3题知f f =f =f I A ，所以 -1-1于是利用定理7有(f f ) f =(f f ) I A ，f -1 (f f ) =f -1 (f I A ) ，

进而I A f =I A I A ，因此f =I A . 所以若f 的逆映射存在，满足条件的f 不存在. 6. 设f :A →B , g :B →C . 若f 和g 是满射，则f g 是满射，试证明. 证 因为f 是满射，所以f (A ) =B . 又因为g 是满射，所以g (B ) =C . 于是(f g )(A ) =g (f (A )) =g (B ) =C ，因此f g 是A 到C 的满射.

另证 对于任意z ∈C ，因为g 是满射，于是存在y ∈B 使得g (y ) =z . 又因为f 是满射，存在x ∈A 使得f (x ) =y . 因此，(f g )(x ) =g (f (x )) =g (y ) =z ，所以f g 是A 到C 的满射.

7. 设f :A →B , g :B →C . 试证明: 若f g 是单射，则f 是单射. 试举例说明，这时g 不一定是单射.

证 对于任意x 1, x 2∈A ，假定f (x 1) =f (x 2) ，则显然g (f (x 1)) =g (f (x 2)) ，即(f g )(x 1) =(f g )(x 2) . 因为f g 是单射，所以x 1=x 2，于是f 是单射. 例如A ={a , b }，B ={1, 2, 3}，C ={α, β, γ, δ}，令f (a ) =1, f (b ) =2，g (1) =α, g (2) =β, g (3) =β，则显然有(f g )(a ) =g (f (a )) =g (1) =α, (f g )(b ) =g (f (b )) =g (2) =β, 于是f g 是A 到C 的单射，但g 显然不是单射.

8. 设f :A →B , 若存在g :B →A ，使得f g =I A 且g f =I B ，试证明: f 是双射且f -1=g .