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2011-2012学年第一学期一元微积分(A上)试卷参考答案

踏实学习，弘扬正气；诚信做人，诚实考试；作弊可耻，后果自负 一、填空题（每题4分，共40分） ?Z。 2?],k??,2k?[2k?（1）函数y 3n?2n

3?2??1n? n?1?（2）limn

0sin(x2)? 。 x?cosx)?（3）limarcsin(1 dx。?ln(x???（4）dxln(x

0?1，则limx?(0)?0，f?0处可导，f(0)?。 （5）已知f(x)在x?ex)?2f(1 x2

（6）函数f(x)

x?4x?cos???0处的3阶带拉格朗日型余项的泰勒公式为14sin?xcosx在x? 在0与x之间。 24!?x,?3 sin?0时，x?（7）当x 3?x是x的k阶无穷小，则k 。

]上的最大值为 +322?sinx在区间[0,?1 x??（8）函数y ?e的拐点横坐标为?x2（9）曲线y?

3在其顶点处的曲率为。?4x?x?2 。 2（10）抛物线y 二、解下列各题（每题6分，共30分）

0，要使得??。 （2分）证明：对任意???，只要||??0。 （1）利用函数极限定义证明limx22|?2

?2，当x?2。取X?2即有x 11??。 （4分）??X时有 | （2????

?1,2,?对任意k??）计算数列极限limn 。 （1分）????。 ?,n （2分）?由n 1与夹逼准则，?n? 2

01x?。 x?cosx?sinx?（3）计算函数极限lim??n??lim? （3分）2?1 ?

0x （2分）?cosx)x?e1limln(sinx?cosx)x?01x1ln(sinx?0x?limex??cosx?sinx?lim 0x?0xx?1 x?lim?cosx)?1limln(sinx?cosx?1sinx

cosx?0sinx?0xx?1） （3分）x?lim ?cosx)?sinx（或者使用洛必达法则limln(sinx?1cosx

01x?e （1分）x??cosx?sinx?lim?

0处的连续性。?(x)在x?(x)并讨论f?x，求f??（4）已知函数f(x)?0?1x?ex? ?0?1x?

(； （2分） 2xx?(x)?0时，f?当x??1)?ex?1xex?ex

0xx2x2?0x?0x?； （2分）2x?lim?lim?lim ?(0)?0时，f?11当x?1ex?x?1ex?1?ex 0x2x2?0x?0x?(0) 2x?f??lim?lim?(x)?1xex1limf?ex?xex 0处连续。 （2分）?(x)在x?导函数f

1。???，其中0??1?x??0，x?（5）证明对任意x 0. （2分）?1,f(1)???x??x?令f(x)

0.?(x)?1时，f?0;当x?(x)?1时，f?知当x??1??x??(x)?1,f???（2分） 由0 ??0。 （2分）?f(1)?0，f(x)?1处取得最大值0，从而对任意x?f(x)在x xe确定，求与。 dxdx2y?1?y(x)由方程y?dyd2y三、（7分）设函数y ， （2分） yyy?xey?e??xe两边同取导数，y?1?方程y eyey

y?xey2?。 （2分） 1???y?

y)?y)(2?y(2? （3分） 23dx2??y?()???y)y?eye2y(3?y)?deyey(2 xey)ey?e2y(2

xe?xey)31?。 y(1???计算二阶导，结果为y??注：若以y

b。?a，f(b)?四、（8分）设函数f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，f(a) 。??)?(a,b)，使得f(??（1） 证明存在 1。?)?(?(a,b)使得f??（2） 证明存在

x，由f(x)在[a,b]上连续，g(x)在[a,b]上连续。 （1分）?f(x)?（3） 令g(x) 。 （2分）??)?0，即f(?)?(a,b)，使得g(??0 （1分） 由零点定理，存在?b?f(b)?0,g(b)?a?f(a)?且g(a)

1。 （1分）?(x)?f?(x)?（2）g(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，且g (a,b)使得??对g(x)在[a,b]上使用拉格朗日中值定理，存在

?)?(?g

a?1。 （3分）b?)?(?0，即f?g(a) ?g(b)

0。?a,x?lnx?x?)内的根的个数。 解： 令f(x)??a在(0,?lnx?、（8分）对a的不同取值，讨论方程x a。 （1分）x?1?1，f(1)?0有唯一驻点x?1 ?1?(x)?f 1时，?当x

???x???； （2分）x???a)?lnx?lim(x?0，f(x)单调递增，limf(x)?(x)?f 1时，?x?当0

?0?x?0?。 （2分）x???a)?lnx?lim(x?0，f(x)单调递减，limf(x)?(x)?f

0，方程无根。?1时，f(1)?0，方程有一个根；当a?1时，f(1)?0，方程存在两个根；当a?1时，f(1)?所以，当a （3分）

|f(x)|。?0处可导，g(x)?六、（7分）设f(x)在x (0)。?g?(0)?0，则f?（1） 证明若f(0)

0。?(0)?(0)存在的充要条件为f?0，则g?（2） 证明若f(0) 0处必连续。?0处可导，从而f(x)在x?证：（1）f(x)在x

0?)，使得函数x?0及极限的保号性，存在0点的某个邻域U(0,?f(0)?由limf(x) f(x)，因此?f(x)?)，g(x)?U(0,?0， 从而对任一x?f(x) 0xx?(0)。 （3分） x?g?lim?g(0)?f(0)g(x)?0f(x)?limx?(0)?f 0。?f(0)?0时，g(0)?（2）当f(0) 0x?(0)存在 x?f?f(x)

xxx?0?x?0?0x?(0)|。 （2分） x?|f?lim||?lim||?(0)| ?|f?lim||?f(x)f(x)f(x) lim?0处可导 ?0xxf(x)在x?0x?limx? lim?(0)存在 ?g(x)|f(x)|存在 g |x|xx|x|?0?x?0?x?0?x?0?lim x??lim?lim?lim|f(x)||f(x)||f(x)||f(x)|? 0。 （2分）?(0)? f?0 ?(0)|?|f?