内容发布更新时间 : 2024/12/24 0:07:23星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

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3.2.3 直线的一般式方程

学习目标

1．掌握直线方程的一般式． 2．掌握一般式与其他形式的互化． 3．了解二元一次方程与直线的对应关系． 自学导引 1．一般式方程

(1)定义：关于x，y的二元一次方程______________(其中A，B不同时为0)叫做直线的一般式方程，简称一般式．

(2)斜率：直线Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)，当B≠0时，其斜率是__________，在y轴上的截距是__________；当B＝0时，这条直线垂直于______轴，不存在斜率．

2．二元一次方程与直线的关系

二元一次方程的每一组解都可以看成平面直角坐标系中一个点的________，这个方程的全体解组成的集合，就是坐标满足二元一次方程的全体点的集合，这些点的集合就组成了一条________．二元一次方程与平面直角坐标系中的直线是一一对应的．

对点讲练

知识点一 一般式与其他形式的互化

例1 根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程． (1)斜率是3，且经过点A(5,3)； (2)斜率为4，在y轴上的截距为－2； (3)经过A(－1,5)，B(2，－1)两点； (4)在x，y轴上的截距分别是－3，－1.

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点评 任何形式的方程都可以化成一般式方程，化为一般式方程以后原方程的限制条件就消失了．

由于直线方程的斜截式和截距式是惟一的，而两点式和点斜式不惟一，因此，通常情况下，一般式不化为两点式和点斜式．

变式训练1 求直线3x＋2y＋6＝0的斜截式和截距式方程．

知识点二 平行与垂直的应用

例2 求与直线3x＋4y＋1＝0平行且过点(1,2)的直线l的方程．

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点评 一般地，直线Ax＋By＋C＝0中系数A、B确定直线的斜率，因此，与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线方程可设为Ax＋By＋m＝0，这是经常采用的解题技巧．

称Ax＋By＋m＝0是与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线系方程．

参数m可以取m≠C的任意实数，这样就得到无数条与直线Ax＋By＋C＝0平行的平行线系．

当m＝C时，Ax＋By＋m＝0与Ax＋By＋C＝0重合．

变式训练2 求经过点A(2,1)，且与直线2x＋y－10＝0垂直的直线l的方程．

知识点三 直线方程的综合应用

例3 已知直线l：5ax－5y－a＋3＝0.

(1)求证：不论a为何值，直线l总经过第一象限； (2)为使直线不经过第二象限，求a的取值范围．

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