内容发布更新时间 : 2024/12/25 9:21:21星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。
1.3 正方形的性质与判定 第1课时 正方形的性质
1.在对平行四边形、矩形、菱形的认识基础上探索正方形的性质,并能运用正方形的性质进行证明与计算.(重难点)
2.进一步了解平行四边形、矩形、菱形及正方形之间的相互关系,并形成文本信息与图形信息相互转化的能力.
阅读教材P20~21,完成下列问题: (一)知识探究
1.有________相等并且有一个角是________的__________叫做正方形.
2.正方形既是________又是________,它既具有________的性质,又有________的性质. 3.正方形的________相等,都是________,________相等. 4.正方形的对角线________________________. (二)自学反馈 正方形的性质:
1.边:________都相等且________. 2.角:四个角都是________.
3.对角线:两条对角线互相________且________,并且每一条对角线平分________. 4.正方形既是________图形,又是________图形,正方形有________对称轴.
活动1 小组讨论
例 如图,在正方形ABCD中,E为CD上一点,F为BC边延长线上一点,且CE=CF.BE与DF之间有怎样的关系?请说明理由.
解:BE=DF,且BE⊥DF.理由如下: 如图,延长BE交DF于点M. ∵四边形ABCD是正方形,
∴BC=DC,∠BCE=90°(正方形的四条边都相等,四个角都是直角). ∴∠DCF=180°-∠BCE=180°-90°=90°. ∴∠BCE=∠DCF.
又∵CE=CF,∴△BCE≌△DCF. ∴BE=DF,
∵∠DCF=90°,∴∠CDF+∠F=90°. ∴∠CBE+∠F=90°. ∴∠BMF=90°. ∴BE⊥DF.
本题是通过证明△BCE≌△DCF来得到BE与DF之间的关系,证明三角形全等是解决这一类型问题的常用
做法.
活动2 跟踪训练
1.菱形,矩形,正方形都具有的性质是( )
A.对角线相等且互相平分 B.对角线相等且互相垂直平分 C.对角线互相平分 D.四条边相等,四个角相等 2.正方形面积为36,则对角线的长为( )
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A.6 B.62 C.9 D.92
3.如图,菱形ABCD中,∠B=60°,AB=4,则以AC为边长的正方形ACEF的周长为( ) A.14 B.15 C.16 D.17
4.如图,延长正方形ABCD的边BC至E,使CE=AC,连接AE交CD于F,则∠AFC=________°.
5.如图,正方形ABCD的对角线AC、BD交于点O,∠OCF=∠OBE.求证:OE=OF.
活动3 课堂小结
?角:正方形的四个角都是直角.?正方形对角线:正方形的两条对角线互相垂直平分且相等,
的性质?每一条对角线平分一组对角.
?对称:既是轴对称图形,又是中心对称图形,?它有四条对称轴,其对角线交点为对称中心.
【预习导学】 (一)知识探究
1.一组邻边 直角 平行四边形 2.矩形 菱形 矩形 菱形 3.四个角 直角 四条边 4.相等且互相垂直平分 (二)自学反馈
1.四条边 对边平行 2.直角 3.垂直平分 相等 一组对角 4.中心对称 轴对称 四条 【合作探究】 活动2 跟踪训练
1.C 2.B 3.C 4.112.5
5.证明:∵四边形ABCD是正方形,∴AC⊥BD,OB=OC.
∴∠AOB=∠BOC=90°.又∵∠OBE=∠OCF,∴△OBE≌△OCF.∴OE=OF.
第2课时 正方形的判定
1.掌握正方形的判定定理,并能综合运用特殊四边形的性质和判定解决问题.(重难点)
2.发现决定中点四边形形状的因素,熟练运用特殊四边形的判定及性质对中点四边形进行判断.
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边:正方形的四条边都相等且对边平行.
阅读教材P22~24,完成下列问题: (一)知识探究
1.对角线相等的________是正方形. 2.对角线垂直的________是正方形. 3.有一个是直角的________是正方形. (二)自学反馈
1.已知四边形ABCD中,∠A=∠B=∠C=90°,如果添加一个条件,即可推出该四边形是正方形,那么这个条件可以是( )
A.∠D=90° B.AB=CD C.AD=BC D.BC=CD 2.下列命题正确的是( )
A.两条对角线相等的菱形是正方形
B.对角线与一边的夹角是45°的四边形是正方形 C.两邻角相等,且有一角是直角的四边形是正方形 D.对角线相等且互相垂直的四边形是正方形
3.在四边形ABCD中,O是对角线的交点,能判定这个四边形是正方形的条件是( ) A.AC=BD,AB∥CD,AB=CD B.AD∥BC,∠A=∠C
C.AO=BO=CO=DO,AC⊥BD D.AO=CO,BO=DO,AB=BC
4.如图,将一张矩形纸片ABCD折叠,使AB落在AD边上,然后打开,折痕为AE,顶点B的落点为F.则四边形ABEF是________形.
活动1 小组讨论
例 如图,在矩形ABCD中,BE平分∠ABC,CE平分∠DCB,BF∥CE,CF∥BE.求证:四边形BECF是正方形.
证明:∵BF∥CE,CF∥BE, ∴四边形BECF是平行四边形. ∵四边形ABCD是矩形,
∴∠ABC=90°,∠DCB=90°.
又∵BE平分∠ABC,CE平分∠DCB,
11
∴∠EBC=∠ABC=45°,∠ECB=∠DCB=45°.
22∴∠EBC=∠ECB.
∴EB=EC.
∴平行四边形BECF是菱形. 在△EBC中,
∵∠EBC=45°,∠ECB=45°, ∴∠BEC=90°.
∴菱形BECF是正方形.
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掌握平行四边形、矩形、菱形成为正方形所需要的条件是解决这类问题的关键.
活动2 跟踪训练
1.如图,在△ABC中,∠ABC=90°,BD平分∠ABC,DE⊥BC,DF⊥AB,垂足分别为E、F,求证:四边形BEDF是正方形.
2.如图,E、F、G、H分别是正方形ABCD四条边上的点,AE=BF=CG=DH,四边形EFGH是什么图形?证明你的结论.
3.如图所示,点E,F,G,H分别是CD,BC,AB,DA的中点,求证:四边形EFGH是平行四边形.
活动3 课堂小结
1.对角线相等的菱形是正方形; 2.对角线垂直的矩形是正方形; 3.有一个角是直角的菱形是正方形.
【预习导学】 (一)知识探究
1.菱形 2.矩形 3.菱形 (二)自学反馈
1.D 2.A 3.C 4.正方 【合作探究】 活动2 跟踪训练
1.证明:∵∠ABC=90°,DE⊥BC,DF⊥AB,∴四边形BEDF是矩形.∵BD平分∠ABC,DE⊥BC,DF⊥AB,∴DE=DF.∴四边形BEDF是正方形.
2.四边形EFGH是正方形.证明:∵四边形ABCD是正方形,∴AB=BC=CD=DA.∵AE=BF=CG=DH,∴HA=EB=FC=GD.∵∠A=∠B=∠C=∠D=90°,∴Rt△AEH≌Rt△BFE≌Rt△CGF≌Rt△DHG.∴HE=EF=FG=GH.∴四边形EFGH是菱形.又∠AHE=∠BEF,∠AHE+∠AEH=90°,∴∠BEF+∠AEH=90°.∴∠HEF=90°.∴四边形EFGH是正方形. 3.证明:连接BD.∵点E,F,G,H分别是CD,BC,AB,DA的中点,∴EF是△BCD的中位线,GH是△ABD的中位线.∴11
EF∥BD,EF=BD,GH∥BD,GH=BD.∴EF∥GH,EF=GH.∴四边形EFGH是平行四边形.
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