内容发布更新时间 : 2024/5/10 7:21:41星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。
二次函数综合——二次函数与等腰三角形的点存在性问题 适用学科 适用区域 知识点 数学 北师大版 适用年级 初三 课时时长（分钟） 120 1. 二次函数综合2.等腰三角形的性质3.等腰三角形的判定 4.相似三角形的性质5.勾股定理6.二次函数解析式的确定 教学目标 1. 熟练运用所学知识解决二次函数综合问题 2. 灵活运用数形结合思想 教学重点 教学难点 巧妙运用数形结合思想解决综合问题 灵活运用技巧及方法解决综合问题 教学过程
一、复习预习
1.二次函数的基础知识 2.等腰三角形的性质 3.相似三角形的性质
二、知识讲解
考点1 二次函数的基础知识
1.一般地，如果y=ax+bx+c（a，b，c是常数且a≠0），那么y叫做x的二次函数，它是关于自变量的二次式，二次项系数必须是非零实数时才是二次函数，这也是判断函数是不是二次函数的重要依据．当b=c=0时，二次函数y=ax是最简单的二次函数．
2.二次函数y=ax+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的三种表达形式分别为：一般式：y=ax+bx+c，通常要知道图像上的三个点的坐标才能得出此解析式；顶点式：y=a（x－h）+k，通常要知道顶点坐标或对称轴才能求出此解析式；交点式：y=a（x－x1）（x－x2），通常要知道图像与x轴的两个交点坐标x1，x2才能求出此解析式；对于y=ax+bx+c而言，其顶点坐标为（－
2
2
2
2
2
2
b，2a4ac?b22
）．对于y=a（x－h）+k而言其顶点坐标为（h，k），?由于二次函数的图像为抛物4a线，因此关键要抓住抛物线的三要素：开口方向，对称轴，顶点．
考点2 等腰三角形的性质
1.等腰三角形的两个底角度数相等（简写成“等边对等角”）。
2.等腰三角形的顶角的平分线，底边上的中线，底边上的高重合（简写成“等腰三角形的三线合一性质”）。
3.等腰三角形的两底角的平分线相等（两条腰上的中线相等，两条腰上的高相等）。 4.等腰三角形底边上的垂直平分线到两条腰的距离相等。 5.等腰三角形的一腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半。
6.等腰三角形底边上任意一点到两腰距离之和等于一腰上的高（需用等面积法证明）。 7.等腰三角形是轴对称图形，（不是等边三角形的情况下）只有一条对称轴，顶角平分线所在的直线是它的对称轴，等边三角形有三条对称轴。 8.等腰三角形中腰的平方等于高的平方加底的一半的平方 9.等腰三角形的腰与它的高的关系
直接的关系是：腰大于高。间接的关系是：腰的平方等于高的平方加底的一半的平方。 考点3 相似三角形的性质
1.相似三角形对应角相等，对应边成正比例。
2.相似三角形的一切对应线段(对应高、对应中线、对应角平分线、外接圆半径、内切圆半径等）的比等于相似比。
3.相似三角形周长的比等于相似比。 4.相似三角形面积的比等于相似比的平方。
5.相似三角形内切圆、外接圆直径比和周长比都和相似比相同，内切圆、外接圆面积比是相似比的平方
6.若a/b =b/c，即b2=ac，b叫做a,c的比例中项 d=a/b 等同于ad=bc.
8.不必是在同一平面内的三角形里
（1）相似三角形对应角相等，对应边成比例.
（2）相似三角形对应高的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比. （3）相似三角形周长的比等于相似比
三、例题精析
【例题1】
如图，抛物线y＝- x+ x-4与x轴相交于点Ａ、Ｂ，与y轴相交于点Ｃ，抛物线的对称轴与x轴相交于点Ｍ。Ｐ是抛物线在x轴上方的一个动点（点Ｐ、Ｍ、Ｃ不在同一条直线上）。分别过点Ａ、Ｂ 作直线ＣＰ的垂线，垂足分别为Ｄ、Ｅ，连接ＭＤ、ＭＥ。 （1）求点Ａ、Ｂ的坐标（直接写出结果），并证明△ＭＤＥ是等腰三角形； （2）△ＭＤＥ能否为等腰直角三角形？若能，求此时点Ｐ的坐标，若不能，说明理由； （3）若将“Ｐ是抛物线在x轴上方的一个动点（点Ｐ、Ｍ、Ｃ不在同一条直线上）”改为“Ｐ是抛物线在x轴下方的一个动点”，其他条件不变，△ＭＤＥ能否为等腰直角三角形？若能，求此时点Ｐ的坐标（直接写出结果），若不能，说明理由。
2
【答案】
（1）抛物线解析式为y=﹣x+ x﹣4，令y=0，
即﹣x+ x﹣4=0，解得x=1或x=5，∴A（1，0），B（5，0）． 如答图1所示，
分别延长AD与EM，交于点F；
∵AD⊥PC，BE⊥PC，∴AD∥BE，∴∠MAF=∠MBE； 在△AMF与△BME中，∠MAF=∠MBE，MA=MB,∠AMF=∠BME； ∴△AMF≌△BME（ASA），
∴ME=MF，即点M为Rt△EDF斜边EF的中点， ∴MD=ME，即△MDE是等腰三角形 （2）能；
抛物线解析式为y=﹣x+ x﹣4=﹣（x﹣3）+，
2
2
2
2