内容发布更新时间 : 2024/5/22 23:01:18星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。
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专题09 三角恒等变换与解三角形
π?5?π??1．已知α∈?，π?，sin α＝，则tan?α＋?＝( ) 4?13?2??7
A．－
177C． 17【答案】：C
【解析】：因为α∈?
17
B． 717D．－
7
?π，π?，所以cos α＝－12，所以tan α＝－5，所以tan?α＋π?＝
??4?1312?2???
π5
tan α＋tan －＋1
4127＝＝，故选C. π517
1－tan αtan 1＋412
7
2．△ABC的角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若cos A＝，c－a＝2，b＝3，则a＝( )
857
A．2 B. C．3 D.
22【答案】：A
π?1?ππ??3．已知α∈?，?，tan?2α＋?＝，那么sin 2α＋cos 2α的值为( )
4?7?42??
1
A．－ 57C．－ 5【答案】：A
π?1tan 2α＋1133??π?【解析】：由tan?2α＋?＝，知＝，∴tan 2α＝－.∵2α∈?，π?，∴sin 2α＝，
4?71－tan 2α745??2?41
cos 2α＝－.∴sin 2α＋cos 2α＝－，故选A.
55
π
4.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.若c2＝(a－b)2＋6，C＝，则△ABC的面积是( )
3A.3
93 B.
2
C.33
2
D.33
7B. 53D. 4
【答案】 C
【解析】 c＝(a－b)＋6，即c＝a＋b－2ab＋6①. π222
∵C＝，由余弦定理得c＝a＋b－ab②，由①和②得
3
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2
2
2
2
2
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ab＝6，∴S△ABC＝absin C＝×6×
1212333＝，故选C. 22
45
5.已知tan β＝，sin(α＋β)＝，其中α，β∈(0，π)，则sin α的值为( )
313A.63
65
B.33 65
13 C. 65
6333 D.或 6565
【答案】 A
435π
【解析】 依题意得sin β＝，cos β＝.注意到sin(α＋β)＝＜sin β，因此有α＋β＞(否
55132ππ
则，若α＋β≤，则有0＜β＜α＋β≤，0＜sin β＜sin(α＋β)，这与“sin(α＋β)＜sin β”
22矛盾)，则cos(α＋β)＝－63
. 65
6.若△ABC的内角满足sin A＋2sin B＝2sin C，则cos C的最小值是________. 【答案】
6－2
4
12
，sin α＝sin[(α＋β)－β]＝sin(α＋β)cos β－cos(α＋β)sin β＝13
7.如图，嵩山上原有一条笔直的山路BC，现在又新架设了一条索道AC，小李在山脚B处看索道AC，发现张角∠ABC＝120°；从B处攀登400米到达D处，回头看索道AC，发现张角∠ADC＝150°；从D处再攀登800米方到达C处，则索道AC的长为________米.
【答案】 40013
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【解析】 如题图，在△ABD中，BD＝400米，∠ABD＝120°.因为∠ADC＝150°，所以∠ADB＝30°.所以∠DAB＝180°－120°－30°＝30°.
由正弦定理，可得＝.
sin∠DABsin∠ABD400AD所以＝，得AD＝4003(米).
sin 30°sin 120°
在△ADC中，DC＝800米，∠ADC＝150°，由余弦定理可得
BDADAC2＝AD2＋CD2－2·AC·CD·cos∠ADC
＝(4003)＋800－2×4003×800×cos 150°＝400×13，解得AC＝40013(米).故索道AC的长为40013米.
8．已知△ABC中，三边长分别是a，b，c，面积S＝a－(b－c)，b＋c＝8，则S的最大值是________． 64【答案】：
17
1122
【解析】：因为S＝a－(b－c)，所以bcsin A＝－(b2＋c2－a2)＋2bc，所以bcsin A＝2bc－2bccos A，
228144?b＋c?222
又sin A＋cos A＝1，所以sin A＝4(1－cos A)，所以sin A＝，所以S＝bcsin A＝bc≤??1721717?2?＝64
. 17
9．已知函数f(x)＝2cos ＋3sin x.
2
(1)求函数f(x)的最大值，并写出取得最大值时相应的x的取值集合； α1
(2)若tan ＝，求f(α)的值．
22
2
2
2
2
2
2
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