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2011—2012学年第二学期闽江学院试卷

P(B|A1)?1/3,P(B|A2)?3/5,P(B|A3)?4/5， ……… 4分

参考答案与评分标准

由贝叶斯公式

P(A

P(A2)P(B|A2)2|B)?P(A考试课程：概率统计

1)P(B|A1)?P(A2)P(B|A2)?P(A3)P(B|A3)3/15 ……… 8分

试卷类别：A卷? B卷□ 考试形式：闭卷? 开卷□ ?1/6?3/15?2/15?65?6?4?25?0.4适用专业年级： 本科周3学时各专业

班级 姓名 学号

13、（8%）设连续型随机变量X的分布函数为：

?1

F(x)???2ex，x≤0 题号 一 二 三 四 总 分 ??B?Ae?x,x?0得分 （1） 求常数A,B；（2）求X的概率密度f(x)． 注：查表见卷后附表. 解：（1）由分布函数的性质：

一、单项选择题（3%χ5=15%）

得分 F(0?)?F(0)?B?A?12 ……… 1分

1、A 2、C 3、A 4、A 5、B

F(??)?1?B?1 ……… 3分

二、填空题 (3χ6=18%)

得分 因此可得 A?1/2,B?1 ……… 4分

6、9/22 7、C201000.9200.180 8、1927 9、±22 10、31 11、

（2）代入A,B的值，可得

62?12?1exC?12(n?1)．

F(x)???，x≤0?2 ……… 6分???1?1

2e?x,x?0三、计算题 （60 %） 得分 12、（8%）甲盒中装有1个白球2个黑球，乙盒中装有3个白球2个黑球，丙盒?1中装有4个白球1个黑球．采取掷一颗骰子决定选盒，出现1，2或3点选甲盒，故f(x)?dF(x)ex，x≤0(补充x?0处的定义）4或5点选乙盒，6点选丙盒，在选出的盒子中随机摸出1个球. 经过秘密选盒dx????2?1……… 8分

?摸球后，宣布摸得1个白球，求此球来自乙盒的概率．

?2e?x,x?0解：记A1=“选甲盒”，A2=“选乙盒”，A3=“选丙盒”，B=“摸得白球”。 依题意

P(A 1)?1/2,P(A2)?1/3,P(A3)?1/6， ……… 2分

考试时间：2012年6月20日 共6页 第1页

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14、（12%）某种清漆的干燥时间（单位：小时）X~N(8,?2),??0，且

由以往观测的数据可知，此种清漆的干燥时间在8至10小时之间的概率为0.2881，已知?(0.8)?0.7881，

（1）求?的值；

（2）求此种清漆的干燥时间不超过6小时的概率．

可以得到 a?2xdx?1?a?1 ……… 4分

01（2）把a?1代入密度函数

P{X2?Y}?1xx2?y??f(x,y)dxdy ……… 6分

??dx?2dy??(x?x2)dx ……… 8分

0x01?1 ……… 10分 6解：（1）由题意

16、（10%）保险公司多年的统计资料表明，在索赔户中被盗索赔户占20%，以X表示在随意抽查的100个索赔户中因被盗向保险公司索赔的户数.

（1） 写出X的概率分布； （2） 利用中心极限定理，求被盗索赔户不少于14户且不多于30户的概率近似值．（?(x)的值见卷末附表）

解（1）根据题意索赔户数X服从二项分布B(100,0.2)，故X的概率分布为

kP(X?k)?C1000.2k0.8100?k,?8?8X?810?8?P(8?X?10)?0.2881?P?????0.2881.……… 2分

?????即

?2??????(0)?0.2881 ……… 4分 ????2??????0.7881. ……… 6分

??????2.5. ……… 8分

k?1,2,,100. ..............… 4分

（2）因E(X)?np?20,D(X)?np(1?p)?16,根据棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理，有

..............…6分

（2）所求概率

?X?86?8??2?P(X?6)?P??????????????? ……… 12分

?2??1?????0.2119.???

?14?20X?2030?20?P{14?X?30}?P???? ...............…8分

444??X?20???P??1.5??2.5???(2.5)??(?1.5)

4????(2.5)??(1.5)?1?0.927. .............................................…10分

15、（10%）设二维连续型随机变量(X,Y)的概率密度为

?a,0?x?1,|y|?x， f(x,y)???0,其它 2（1）求常数a；（2）求概率P{X?Y}.

解：（1）由题意

R?R??f(x,y)dxdy?1??adx?dy?1 ……… 2分

0?x1x

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考试时间：2012年6月20日 共6页 第3页

?3x2?3, 0?x??,17、（12%）设总体X的概率密度为f(x)???

?0, 其它,?X1,X2,,Xn是来自总体X的简单随机样本.

?． ?；（1）求?的矩估计量?（2）求?的最大似然估计量?12四、证明题（7%）

18、设二维随机变量(X,Y)的概率密度为

得分 解，（1） E(X)??????xf(x)dx???3x303dx??. ……… 3分 ?34?122?,x?y?1, f(x,y)?????0,其他，证明X和Y是不相关的，且X和Y不是相互独立的．

证明：（1）首先证明不相关

3?1n??4X. ……… 4分 ?X,得?的矩估计量为 ?记X??Xi，令

43ni?1（2）依题意可知，似然函数为：

nnE(X)?????????????1?x21?xdxdy??x??dy?dx?0. ...............…2分

?1?1?x2?????11L(x1,x2,则

,xn;?)??f(xi,?)??i?1i?1n3xi2?3?3n?2x3n?i……… 6分

i?1n同理可得 E(Y)?0.

????E(XY)?????????1?x21?xydxdy??x??ydy?dx?0. ...............…3分 2?1?1?x?????11lnL?nln3?3nln??2?lnxii?1 ……… 8分

所以 cov(X,Y)?E(XY)?E(X)E(Y)?0. ...............…4分 即X和Y是不相关的.

（2）再证明X和Y是不独立的. 容易求得X的概率密度函数为

dlnL3n??两边对?求导可得

d??再求解似然方程：?

3n??0 ……… 10分

无法可得出。所以只能从极大似然估计的定义求解，要求似然函数的最大解，只需

?1?x2121?x2?dy?,fX(x)????1?x2???0,?同理Y的概率密度函数为

?1?x?1,其他. ...............…5分

lnL?nln3?3nln??2?lnxii?1n这个式子中的参数?取到最小值，然而

??max{x,i?1,2,...,n} 0?xi??,i?1,2,...,n，所以?2i即为?的最大似然估计。 ……… 12分

?1?y2121?y2?dx?,fY(y)????1?y2???0,??1?y?1,其他. ...............…6分

所以fX(x)fY(y)?f(x,y).即X和Y是不独立的 ...............…7分

[附表：

x00.51.01.52.02.53.0?(x)0.500.6920.8410.9330.9770.9940.999其中?(x)是标准正态分布的分布函数.

考试时间：2012年6月20日 共6页 第5页

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