内容发布更新时间 : 2024/12/23 17:58:40星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。
院、系领导 审批并签名 A 卷 广州大学2013-2014学年第一学期考试卷解答
课 程：概率论（32学时） 考 试 形 式：闭卷考试
学院:____________ 专业班级:__________ 学号:____________ 姓名:___________ 题 次 一 二 三 四 五 六 七 八 九 总 分 评卷人 分 数 15 15 8 6 8 12 14 12 10 100 得 分 一、选择题（每小题3分，总计15分）
c1．设随机变量X的分布律为P(X?k)?k，（k?0,1,2,3,4），则c?（ D ）.
211616(A) ； (B) ； (C) 1； (D) .
215312．设A,B是二随机事件，如果等式（ C ）成立，则称A,B为相互独立的随机事件.
(A) P(AB)?0； (B) P(A?B)?1； (C) P(AB)?P(A)； (D) P(A?B)?0. 3．设P(A)?0.4，P(B)?0.5, 且P(A?B)?0.7，则P(A|B)?（ C ）. (A) 0.8； (B) 0.6； (C) 0.4； (D) 0.2. 4．若随机变量?的期望E?存在，则E[E(E?)]?（ C ）. (A) 0； (B) ?； (C) E?； (D) (E?)2. 5. 设连续型随机变量X的概率密度为f(x), 则（ C ）. (A) 0?f(x)?1； (B) limf(x)?1；
x???(C) ?????f(x)dx?1； (D) P{a?X?b}?f(b)?f(a).
二、填空题（每小题3分，总计15分）
1．将两封信随机地投入四个邮筒中，则未向前面两个邮筒投信的概率为
1/4.
2．设随机变量X~N(0,1)，?(x)为其分布函数，则?(x)??(?x)?___1____.
3．每次试验中A出现的概率为p，在三次试验中A出现至少一次的概率是26/27，则p?1/3.
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4．随机变量X的分布律为P{X?k}?5．设X~U(1,6)，则E(2X?1)?k，k?1,?,5，则P{1?X?3}?158.
1/3 .
三、（本题满分8分）
将标号为1, 2, 3, 4的四个球随意地排成一行，求下列各事件的概率: （1）各球自左至右或自右至左恰好排成1, 2, 3, 4的顺序； （2）第1号球排在最右边或最左边.
解：将4个球随意地排成一行有4!=24种排法，即基本事件总数为24.------2分 记（1），（2）的事件分别为A,B.
21?.------5分 （1）A中有两种排法，故有P(A)?2412121?.------8分 （2）B中有2?(3!)?12种排法, 故有P(B)?242 四、（本题满分6分）
袋中有a个白球，b个红球，从袋中依次取m个球, 每次取1个，取后球不放回，求其中恰有k个白球的概率. 解：n??A(m)(a?b?m?1)，------2分 a?b)?(a?b)(a?b?1记所求事件为A，则
kkm?knA?CmAaAb?m!a!b!??，------4分
k!(m?k)!(a?k)!(b?m?k)!kkm?kkm?kCmAaAbCaCb.------6分 或，k?a,k?m. P(A)?P(A)?mmAa?bCa?b
五、（本题满分8分）
设某批产品中，甲，乙，丙三厂生产的产品分别占45%，35%，20%，各厂的产品的次品率分别为4%，2%，5%，现从中任取一件，求取到的是次品的概率. 解：记事件A1：“该产品是次品”， 事件A2：“该产品为乙厂生产的”， 事件A3：“该产品为丙厂生产的”，事件B：“该产品是次品”.------2分 由题设，知
P(A1)?45%，P(A2)?35%，P(A3)?20%，
P(B|A1)?4%，P(B|A2)?2%，P(B|A3)?5%，------5分
由全概率公式得
P(B)??P(Ai)P(B|Ai)?3.5%.------8分
i?13
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六、（本题满分12分）
设随机变量X的分布函数为
x?1,?0,?9/19,1?x?2,? F(x)???15/19,2?x?3,?x?3.?1,（1）求P(1?X?3)、P(2?X?4)；
（2）判断X是否为离散型随机变量，若是，说明理由并计算其分布律； （3）求E(2X?1). 解：（1） P(1 P(2 （2）由于F(x)是一个阶梯型函数，故知X是一个离散型随机变量，F(x)的跳跃点分别为1，2，3，对应的跳跃高度分别为 9/19，6/19，4/19，如图. 故X的概率分布为 X123 pi9/196/194/19------8分 （3）E(2X+1)=(2+1)*9/19+(2*2+1)*6/19+(2*3+1)*4/19------10分 =85/19.------12分 七、（本题满分14分） 设连续型随机变量X的概率密度为 1??Ax?,0?x?1 f(x)?? 2?其它?0,（1）求常数A；（2）求数学期望E(X)；（3）求方差D(X). 解：（1）由?1????f(x)dx?1得 1Ax2x1A1?0(Ax?2)dx?(2?2)0?2?2?1，故A?1.------4分 11x3x21117（2） E(X)??x(x?)dx?(?)???.------8分 0234034121114x3111522（3） E(X)??x(x?)dx?(x?)???.------11分 0246046125721122D(X)?E(X)?E(X)??2?.------14分 1212144 第 3 页 共 4 页《概率论》A卷 八、（本题满分12分） 设(X,Y)的分布律如下 X Y 1 2 3 1 1/6 1/9 1/18 ? 2 1/3 ? 问（1）?,?为何值时，X与Y相互独立？（2）求X与Y的边缘分布律. 1111解：（1）P(X?1)????，------2分 6918311P(Y?2)???，P(Y?3)???，------4分 918根据X,Y独立，可知 1112P(X?1,Y?2)?P(X?1)P(Y?2)??(??)???，------6分 93991111P(X?1,Y?3)?P(X?1)P(Y?3)??(??)???，------8分 183189（2）X的边缘分布律为 X 1 2 P 1/3 2/3 ------10分 Y的边缘分布律为 Y 1 2 3 P 1/2 1/3 1/6 ------12分 九、（本题满分10分） 一保险公司有10000人投保，每人每年付12元保险费，已知一年内投保人死亡率为0.006, 如死亡，公司付给死者家属1000元，求：保险公司年利润不少于60000元的概率. 解：令X=“一年内死亡的人数”，则X～b(10000,0.006)，------2分 由中心极限定理知 （X-10000*0.006）/10000*0.006*0.994近似服从N（0，1）------4分 公司利润为 L=10000×12-1000X.------5分 P{L≥60000}=P{10000×12-1000X≥60000}=P{X≤60}------8分 ≈Φ((60-10000×0.006)/10000*0.006*0.994) =Φ(0)=0.5.------10分 第 4 页 共 4 页《概率论》A卷