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课时分层作业(十六) 指数函数及其性质的应用

(建议用时：40分钟)

[学业达标练]

一、选择题 1．设a＝4，b＝8

0.9

0.48

－1.5

?1?，c＝???2?

，则( )

【导学号：37102248】

A．c>a>b C．a>b>c

B．b>a>c D．a>c>b

－1.5

?1?0.91.80.481.44

D [a＝4＝2，b＝8＝2，c＝??

?2?

2>2>2

1.8

1.5

1.44

＝2，因为函数y＝2在R上是增函数，且1.8>1.5>1.44，所以

1.5x，即a>c>b.]

?1?2．若???2?

2a＋1

?1?

3－2a，则实数a的取值范围是( )

1??B.?，＋∞? ?2?1??D.?－∞，?

2??

xA．(1，＋∞) C．(－∞，1)

1?1?B [∵函数y＝??在R上为减函数，∴2a＋1>3－2a，∴a>.] 2?2?

?1?3．设f(x)＝??，x∈R，那么f(x)是( )

?2?

【导学号：37102249】

A．奇函数，且在(0，＋∞)上是增函数 B．偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数 C．奇函数，且在(0，＋∞)上是减函数 D．偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数

|x||－x||x|x|x|?1??1?D [∵f(x)＝??，x∈R，∴f(－x)＝???2??2?

函数，故选D.] 4．若函数f(x)＝31??A.?－∞，? 2??

(2a－1)x＋3

?1??1?＝??＝f(x)，故f(x)为偶函数，当x＞0时，f(x)＝??，是减

?2??2?

在R上是减函数，则实数a的取值范围是( )

?1?B.?，＋∞?

?2??1?D.?，1? ?2?

(2a－1)x＋3

?1?C.?，1?∪(1，＋∞) ?2?

A [由于底数3∈(1，＋∞)，所以函数f(x)＝3的单调性与y＝(2a－1)x＋3的单调性相同．因为函数

12

f(x)＝3(2a－1)x＋3在R上是减函数，所以y＝(2a－1)x＋3在R上是减函数，所以2a－1<0，即a<，从而实数a1??的取值范围是?－∞，?，选A.] 2??

5．函数y＝a在[0,1]上的最大值与最小值的和为3，则函数y＝2ax－1在[0,1]上的最大值是( )

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【导学号：37102250】

A．6 C．3

xB．1 3D. 2

0

1

C [函数y＝a在[0,1]上是单调的，最大值与最小值都在端点处取到，故有a＋a＝3，解得a＝2，因此函数y＝2ax－1＝4x－1在[0,1]上是单调递增函数，故x＝1时，ymax＝3.] 二、填空题

6．若－1

－xxxb1,0.2x>1，又因为0.5x<0.2x，所以b

?1?7．函数f(x)＝???2?

1－x2

的单调递增区间为________.

【导学号：37102251】

1?1?[0，＋∞) [由于底数∈(0,1)，所以函数f(x)＝??2?2?

1－x2

?1?2

的单调性与y＝1－x的单调性相反，f(x)＝??

?2?

2

2

1－

x2

的单调递增区间就是y＝1－x的单调递减区间．由y＝1－x的图象(图略)可知：当x≤0时，y＝1－x是增函

2

?1?2

数；当x≥0时，y＝1－x是减函数，所以函数f(x)＝???2?

8．函数y＝3x－2x的值域为________．

2

1－x2

的单调递增区间为[0，＋∞)．]

?1，＋∞? [设u＝x2－2x，则y＝3u， ?3???

u＝x2－2x＝(x－1)2－1≥－1，

1u－1

所以y＝3≥3＝，

3

x2－2x所以函数y＝3三、解答题

?1?的值域是?，＋∞?.] ?3?

9．求下列函数的单调区间：

－x＋3x＋2

|x－1|

(1)y＝a(a>1)；(2)y＝2.

【导学号：37102252】

2

2

3??3?17??3?2

[解] (1)设u＝－x＋3x＋2＝－?x－?＋，易知u在?－∞，?上是增函数，在?，＋∞?上是减函数，

2??2?4??2?3???3?u∴a>1时，y＝a在?－∞，?上是增函数，在?，＋∞?上是减函数．

2???2?(2)当x∈(1，＋∞)时，函数y＝2∴y＝2

x－1

x－1

，因为t＝x－1为增函数，y＝2为增函数，

t为增函数；

1－x当x∈(－∞，1)时，函数y＝2

t.

而t＝1－x为减函数，y＝2为增函数， ∴y＝2

1－x为减函数．

|x－1|

故函数y＝2在(－∞，1)上为减函数，在(1，＋∞)上为增函数．

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10．已知函数f(x)＝a－

1

(x∈R)． x2＋1

(1)用定义证明：不论a为何实数，f(x)在R上为增函数； (2)若f(x)为奇函数，求a的值；

(3)在(2)的条件下，求f(x)在区间[1,5]上的最小值．

[冲A挑战练]

2＋1

1．若函数f(x)＝x是奇函数，则使f(x)>3成立的x的取值范围为( )

2－a【导学号：37102253】

A．(－∞，－1) C．(0,1)

B．(－1,0) D．(1，＋∞)

x－xx2＋12＋12＋1xC [由题意，知f(x)＝－f(－x)，即x＝－－x，所以(1－a)(2＋1)＝0，解得a＝1，所以f(x)＝x.2－a2－a2－12＋1x由f(x)＝x>3，得1<2<2，所以0

2－1

?2，x≤0，?

2．（2018·全国卷Ⅰ）设函数f(x)＝?

??1，x>0，

－xxx

则满足f(x＋1)

A．(－∞，－1] C．(－1,0)

－xB．(0，＋∞) D．(－∞，0)

D [当x≤0时，函数f(x)＝2是减函数，则f(x)≥f(0)＝1.作出f(x)的大致图象如图所示，