内容发布更新时间 : 2024/10/20 5:29:54星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

解不等式习题精选精讲

解简单的不等式

1解不等式：(x－x+1)(x+1)(x－4)(6－x)>0

解：对于任何实数x，x－x+1>0恒成立，所以原不等式等价于：(x+1)(x－4)(6－x)>0 ∴(x+1)(x－4)(x－6)<0 所以原不等式的解为：x<－1或4

2

2

2x2?5x?324x?13x?12331(2x?1)(x?3)解：原不等式即≤0 它相当于x?? x?4 (2x+1)(x-3)(4x+3)(x-4)≤0∴?＜x≤? 或3≤x＜4

442(4x?3)(x?4)3 解不等式：|x－5|－|2x+3|<1 解法一：①当x≤?≤0

3时，5－x+2x+3<1 x<－7 ②当?3

2233,5)?(1,??)?(1,5) ③当x≥5时，x－5－2x－3<1, x>－9, ∴x≥5

2331,5)??5,??? 即x<－7或x>1。

332

2

此时不等式的解为：(? 由①②③可知原不等式的解集为：(??,?7)?(解法二：原不等式化为:|x－5|<|2x+3|+1两边平方得：x－10x+25<4x+12x+10+2|2x+3|即：2|2x+3|>－3x－22x+15 ∴4x+6>－3x－22x+15 3x+26x－9>0 ∴x<－9或x>∴原不等式的解集为：(??,?9)?(2

2

1或4x+6<3x+22x－15 x+6x－7>0 ∴ x<－7或x>1 32

2

1,??)?(??,?7)?(1,??) 即：x<－7或x>1 33?0与不等式3(a2?a?1)x?a2?a?1?0同解，解不等式3(a?2b)x?2(b?3a)?0。

224 已知不等式(3a?2b)x?6(a?b)解：a?R，a2?a?1?0 ∴ 3(a?a?1)x?a?a?1?0的解为

x??13

∴

(3a?2b)x??6(a?b)中(3a?2b)?0 ∴ 解

x??6(a?b)16(a?b)???3a?2b 由题意33a?2b ∴

3a?4b?0 代

入所求：?2bx?6b?0 ∴ x??3

5 (1998年全国高考)设a≠b，解关于x的不等式 a2x+b2(1-x)≥[ax+b(1-x)]2.

解析 将原不等式化为 (a2-b2)x-b2≥(a-b)2x2+2(a-b)bx+b2， 移项，整理后得 (a-b)2(x2-x)≤0， ∵a≠b 即(a-b)2>0， ∴x2-x≤0， 即 x(x-1)≤0. 解此不等式，得解集 {x|0≤x≤1}.

6 (1995

?1?年全国高考)???3?x2?8?3?2x 的解集是________________.解析 这是一个指数不等式，基本解法是化为同底的指数形式，然后利

?(x2?8)用指数函数的单调性转化为整式不等式. 原不等式即37 (北京2003年春招)解不等式：log1(x22?3?2x，也就是x2-2x-8<0，解得-2

2?x?2)?log1(x?1)?1.

解析 这是一个对数不等式，基本解法是化为同底的对数形式，然后利用对数函数的单调性转化为整式不等式. 原不等式变形为log1(x22?x?2)?log1(2x?2).所以，原不等式

2?x2?x?2?0,?(x?2)(x?1)?0,?x?2,????x?1?0??x?1?0,???2?x?3.故原不等式的解集为{x|2?x?3}.

?0?x?3?x2?x?2?2x?2?x2?3x?0??1 / 7

解不等式习题精选精讲 8 解不等式3?log1x＞log1x?1 22解析 这是个无理不等式，基本解法是去根号化为整式不等式，怎样去根号？一般有三种情况，一是

?f(x)?0?f(x)?g(x)??g(x)?0；二是

?f(x)?g(x)???f(x)?0?f(x)?0??g(x)?0?f(x)?g(x)??或?g(x)?0；三是f(x)?g(x)??g(x)?0.

?f(x)?0?f(x)?g2(x)?f(x)?g2(x)????x?0??3?logx?0?1??x?02??原不等式等价于(Ⅰ)?3?log1x?0 或（Ⅱ）?logx?1?0

12??2?logx?1?0?13?log1x?(log1x?1)2???222??x?0?x?01??解(Ⅰ)得?logx?1 ∴x＞ (Ⅱ)得?1?logx?2112??2?2?9 已知f(x)=?111＜x≤ 故原不等式的解集为｛x｜x＞｝. 424?1,x?0,,则不等式x+(x+2)·f(x+2)≤5的解集是__________.

?1,x?0,?解析 这是个分段函数型不等式，基本解法是转化为若干个不等式组.原不等式等价于

x?2?0???x?(x?2)?1?5或

x?2?0?3?，解得或x??2，故原不等式的解集为?xx??2?x??2??x?(x?2)(?1)?5解含参不等式

例1 解不等式：x2?(a?1)x?a?0，a∈R

3?3，填(??,]. ?2?2分析：这是基本的一元二次不等式，左边x–(a+1)x+a可分解为(x–a)(x–1)，下面关键的就是要比较a 与1的大小关系，因此以a与1的大小为分类的标准，分三种情形讨论就可以了。 解：(x–a)(x–1)>0

（1） 当a>1时，解为x<1或x>a （2） 当a=1时，解为x∈R且x≠1 （3） 当a<1时，解为x1

2

解关于x的不等式 例2.

xax?1?a?1?a原不等式同解于?0x?1x?1 解：

当a?0时，有(x?1)(x?1?aa?1a?1)?0即(x?1)(x?)?0注意到?1?(x?1)(ax?1?a)?0aaa

a?1a?1?解集为{x|?x?1}当a?0时，有(x?1)(x?)?0当a?0时，有(x?1)?0，??x|x?1}aa

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解不等式习题精选精讲

a?11a?1?1??1?解集为{x|x?1或x?}aaa

2例3 若a≠0,解不等式x+2＜a(+1).

x注意到解析 怎样对参数a

x2?(2?a)x?2a2进行分类讨论？必须先对原不等式等价变形：x+2＜a(+1)?<0?x(x+2)(x－a)＜0. 于

xx是得到必须将a与-2,0进行比较分类：

①当a＞0时，解集为{x|x＜－2或0＜x＜a} ②当－2＜a＜0时，解集为{x|x＜－2或a＜x＜0} ③当a=－2时，解集为{x|x＜0且x≠－2} ④当a＜－2时，解集为{x|x＜a或－2＜x＜0} 例4 解关于x的不等式：(m+1)x－4x+1≤0 (m∈R)

分析：此题是含参数m的不等式，首先应根据m+1是否取0确定原不等式是一元一次不等式还是一元二次不等式；若m+1不等于零，还要按m+1的值为正或负及关于x的二次三项式的判别式的符号为分类标准对m取一切实数的情形进行分类，求出原不等式的解. 解：⑴当m=－1时，－4x+1≤0 x≥

2

1

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⑵当m≠–1时，△=16－4(m+1)=4(3－m),当m≤3时，方程(m+1)x－4x+1=0才有解

x?2?3?m下面以m与－1和3的大小关系作为分类标准来讨论：

m?1①当m<－1时， m+1<0，且②当－10且③当m=3时，解集为：{

2?3?m<2?3?m此时原不等式的解集为：(－∞,2?3?m ]∪[2?3?m,+∞)

m?1m?1m?1m?12?3?m≤2?3?m此时原不等式的解集为：[2?3?m,2?3?m]

m?1m?1m?1m?11} ④当m>3时，解集为空集.

2例5.

解不等式：a(a?x)?a?2x

?a(a?x)?0??a?2x?0?a(a?x)?(a?2x)2? 解：原不等式等价于

?x?a?a3aa??当a?0时，原式??x???x?242???x(4x?3a)?0

??x?a?a3a?当a?0时，原不等式化为：?x??a?x?24?3a?x?或x?0?当a?0时，原不等式化为?2x?0，?x?0 4?例6 (2000年全国高考题)设函数解析 不等式

f(x)?x2?1?ax，其中a?0.（Ⅰ）解不等式f(x)≤1； (2)略.

f(x)?1即x2?1?1?ax，由此得1?1?ax，即ax?0，其中常数a?0.

?x2?1?(1?ax)2,?x?0,所以，原不等式等价于?即?

2x?0.(a?1)x?2a?0??3 / 7