第十一章 曲线积分与曲面积分(整理解答) 下载本文

内容发布更新时间 : 2024/3/29 14:01:03星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

第十一章 曲线积分与曲面积分

一、 第一类、第二类曲线积分的计算,格林公式 11.6

?xds=( ),其中L是连接(1,0)及(0,1)的直线段

LA.

122 B. C. D. 2 222解:如图所示,L所在直线方程参数为 y?1?x,x?x,0?x?1,

?Lxds??x?(x?)2?[(1?x)?]2dx012??x?2dx?021

所以,选B。

11.9

?(xL2?y2)ds=( ),其中L是圆周x?cost,y?sint(0?t?2?)

A.4? B.解:

? C.2? D.? 22?2?00?L(x2?y2)ds??(cos2t?sin2t)?[cos?t]2?[sin?t]2dt??dt?2?

所以,选C。

11.14 下列为第一类曲线积分的是( ); A.B.C.D.

R3中的光滑曲线 ,其中为f(x,y,z)ds???R3中的光滑曲线 ,其中为f(x,y,z)dx????f(x,y,z)dy,其中?为R?3中的光滑曲线 中的光滑曲线

?f(x,y,z)dz,其中?为R?3解:由第一类曲线积分的表示,选A。

11.18 L为曲线x?cost,y?sint上t?0到t??的一段弧,则

?(x?y)ds? ( );

LA. ?1 B. 0 C. 1 D. 2 解:

?(x?y)ds??L?0(cost?sint)?[cos?t]?[sin?t]dt??(cost?sint)dt?2

022?所以,选D。

12x上x?0到x?1的一段弧,则?xds? ( ); 2L12242 C.(22?1) D. 2 A.(22?1) B.

33333111122221解:?xds??x?1?[y?]dx??x?1?xdx?(1?x)|0?(22?1)

0033L11.21 L为曲线y?

1

所以,选A。

11.25 设L是圆周x2?y2?a2在第一象限内的弧段,则(A)?e; (B)

a?Lex2?y2ds?( ).

?2a; (C)

?2aea; (D)

?2ea.

解:L的参数方程为:x?acost,y?asint,0?t??2,所以,

?Lex2?y2?ds??2eaa2cos2t?a2sin2tdt?0?2aea

所以,选C。

11.27 设C是由直线x?0,y?0,x?4,y?2所构成的矩形回路,则(A) 22 (B)23 (C) 24 (D) 25 解:作图可知,

?Cxyds=( )

?Cxyds??4ydy??2xdx?24,所以,选C。

002411.35 设L为x?6,0?y?3203,则?4ds? 2L解:作图可知,

?4ds??L4dy?6,所以,填6。

?的一段弧,则?yds? 2L11.39 L为曲线x?cost,y?sint上t?0到t??解:

?yds??L20sintdt?1,所以,填1。

11.42 L为y?x上从x?0到x?1的直线段,则

?yds?

L解:

?yds??x?2dx?L0122,所以,填。 22?x?acost,z2?11.45 设L是曲线?y?asint,上由t?0到t?2?的一段弧, 则?2ds?

Lx?y2?z?at?解:

2?z2(at)222??ds??(acost)?(asint)dt?Lx2?y2?0(acost)2?(asint)2?a?t2dt?02?8?a33

8?3a。 所以,填311.1已知曲线积分

?Ly?f(x)?x?dx?(ex+y)dy与路径无关,其中函数f(x)可微,则

xxf(x)?( ).

(A) e?x (B) e (C) e?x?1 (D) 1?x

2

x解:因为曲线积分

?Ly?f(x)?x?dx?(ex+y)dy与路径无关,所以

?(ex+y)?y(f(x)+x) ??x?yxx即e?f(x)+x,故f(x)?e-x,所以,选A。

11.8 设闭区域D由分段光滑的曲线L围成,f(x)有二阶连续导数,且g(x)是f(x)的一个原函数,则

?Lf(x)g(y)dx?f(y)g(x)dy?( )

A.1 B.-1 C.0 D.-2

解:因为f(x)有二阶连续导数,且f(x)是g(x)的一个原函数,所以,

?(f(y)g(x))?(f(x)g(y))?f(y)?g?(x)?f(x)?f(y) ?f(x)?g?(y)?f(x)?f(y),

?x?y?(f(x)g(y))?(f(y)g(x))f(y)g(x)dy0?,所以,选C。所以,,故?f(x)g(y)dx? ?L?y?x11.11 设闭区域D由分段光滑的曲线L围成,面积为2,则

?xyL[yexy?y]dx?[xexy?x]dy?( )

A.2 B.-2 C.0 D.4

解:因为闭区域D由分段光滑的曲线L围成,面积为2,由格林公式,

?(xexy?x)?(yexy?y)[?]dxdy?2??dxdy?4 ?L[ye?y]dx?[xe?x]dy????x?yDDxy所以,选D。

11.16 下列第二类曲线积分与路径无关的是( ); A.?xL3dx?3x2ydy B.?x3dx?3x2ydy

LLC.?xL3dy?3x2ydx D.?x3dy?3x2ydx

2?x32?(3xy)解:因为?3x,?3x2,所以,选C。 ?x?y11.20 设L:x?y?4,取逆时针方向,则ydx?xdy? ( ). (A)

22?L? (B) 2? (C) 0 (D) 3?

解:由格林公式,

?Lydx?xdy???[D?x?y?]dxdy?0,所以,选C。 ?x?y222xydx?2xydy?( ); ?L211.23 L为y?x与y?x所围闭域的正向边界,则

A.0 B. ?1 C.1 D. 2 解:由格林公式,

?L?(2x2y)?(2y2x)ydx?xdy???[?]dxdy?0,所以,选A。

?x?yD211.28 设C是抛物线y?x上,从点(1,?1)到点(1,1)的一段弧,则xydx=( )

?c(A)

14 (B) (C) 2 (D) 0 25解:由画图形易得,

?cxydx??x?(?x)dx??x?xdx?2?xdx?100011324,所以,选B。 5 3