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南京邮电大学2013-2014第二学期高等数学A下期末自测试题及答案详解
南京邮电大学2013-2014学年第二学期《高等数学》（A下）
自测模拟试题及详细答案
?1?1．极限lim?1??x??x?y?2?2x2x?y?e2．
2．设z???x2?y??xy，其中?具有连续二阶偏导数，
?2z则=2x?''(x2?y)?xy?1?ylnx?1?． ?x?y3．曲面z?arctan(xy)在点P(1,1,)处的法线方程为
4?x?112?y?112?z??4?1．
4．函数f(x,y,z)?z?e2?2xy?1在点（2,1,0）处的方向导数的最大值为25．
?x??u2?v?z?uz5．设?确定u=u(x,y,z),v=(x,y,z),则． ???x1?2zuy?u?vz?(x?1)2n6．幂函数?的收敛区域是 (?2,4) ． n9n?1?
??x,?1?x?07．设f(x)??，是周期为2的周期函数，则其傅里叶级数 21?x,0?x?1?在点x=4处收敛于
1． 28．设?：x2?y2?z2?R2外侧，则???xdydz?ydzdx?zdxdy?4?．
(x2?y2?z2)3/29．已知A=yi+2z2j+xyk,B=x2i+yj+zk,，则div(A?B)=x3?y2?z?4x2z．
10．设L为取正向的圆周x2+y2=9，则曲线积分
?(2xy?2y)dx?(xL2（用格林公式易） ?4x)dy= ?18? ．12?5x在点x0=2处展开成泰勒级数，并指出其收敛域．
6?5x?x2二（8分）．将函数f(x)= 解：若用泰勒级数
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f''(x0)(x?x0)2? f(x)?f(x0)?f'(x0)(x?x0)?2!1f''(2)(x?2)2?=??f'(2)(x?2)?42!f(n)(x0)(x?x0)n??n!
f(n)(2)(x?2)n??n!，不易。
?116131??tn,t〈1 而由f(x)?，利用???1?tn?01?x6?x1?(x?2)41?x?28?易得f(x)??(?1)n[?1?n?03](x?2)n,x?(1,3) n4?8?2z?2zy. 三（8分）．设z?xf(xy,)，其中f(u,v)具有连续二阶偏导数，求2,
?y?x?yx3?2z?z42???2x3f12???xf2?2? ?xf1'?xf2' ?2?x5f11解：
?y?y?2z???yf22???4x3f1??2xf2? ?x4yf11 ??x?y四（10分）．设V是由曲面积分?1：x2?y2?az和?2：z?2a?x2?y2 (a?0) 所围成的空间封闭图形。求（1）V的体积；（2）V的表面积． 解：
V的体积??dz0ax?y2?az2??dxdy??dza2a53dxdy??a ??6x2?y2?(2a?z)2利用dS?1?(?z2?z2)?()dxdy， ?x?yV的表面积?1222262?55?1a?4x?4ydxdy?2dxdy??a。 ????a6x2?y2?a2x2?y2?a2
五（8分）．确定参数?的值，使得在不经过直线y=0的区域上，曲面积分
x(x2?y2)?x2(x2?y2)?I??dx?dy与路径无关，并求当L为从A（1,1）到B(0,2)时I
Lyy2的值．
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x(x2?y2)?x2(x2?y2)?dx?dy与路径无关， 解：因为曲面积分I??2Lyy 则
?P?Q1? 解得???， ?y?x2I??(0,2)(1,1)x(x?y)y22?12dy?x(x?y)y2222?12dy
2?122? 取路径，I??x(x?1)dx??0dy?1?2。 （1,1）（0,1）??（0,2）110
六（10分）．求函数z=f(x,y)=x2y(4-x-y)在由直线x+y=6、x轴和y轴所围成的闭区域D
上的最大值和最小值． 解：由 fx?0,fy?0，得区域D内的驻点（2,1）。
比较区域D边界的驻点，
得：最大值为驻点（2,1）上的值4，最小值为区域边界x+y=6上的驻点值f(4,2)= -64
七（8分）．计算??y2dydz?z2dzdx?x2dxdy，其中?为旋转抛物面z=x2+y2被平面z=1
?所截得部分的外侧．
解：加辅助面，用高斯公式
???1??y2dydz?z2dzdx?x2dxdy???y2dydz?z2dzdx?x2dxdy?1
????0dV???y2dydz?z2dzdx?x2dxdy??1
????xdxdy??Dxy2?4??11?八（8分）．已知函数y=y(x)满足微分方程y'?x?y，且y(0)=1，证明??y()?1??绝
n?n?1??n?对收敛．
y''(0)(x?0)2?(x)2， 解：由y(x)?y(0)?y'(0)(x?0)?2!11y''(0)11111y()?y(0)?y'(0)??()?1???()， nn2!n2n2nn2n23 / 4