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2019-2020学年高中数学 21《指数函数》学案 苏教版必修1
【学习目标】
1．理解指数函数的概念，并能正确作出其图象，掌握指数函数的性质； 2．能运用指数函数的性质比较两个指数值的大小；
3．培养学生发现问题和提出问题的能力．善于独立思考的习惯，体会事物之间普遍联系的辩证观点． 【课前导学】
引例1 某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个，……，1个这样的细胞分裂 x 次后，得到的细胞个数 y 与 x 的函数关系是什么？
分裂次数：1，2，3，4，…，x 细胞个数：2，4，8，16，…，y
由上面的对应关系可知，函数关系是 y＝2.
引例2 某种商品的价格从今年起每年降低15%，设原来的价格为1，x年后的价格为y，则y与x的函数关系式为 y＝0.85.
在y＝2, y＝0.85中指数x是自变量，底数是一个大于0且不等于1的常量.
我们把这种自变量在指数位置上而底数是一个大于0且不等于1的常量的函数叫做指数函数，引入课题．.
【课堂活动】 一．建构数学： 1．指数函数的定义
函数y＝a（a＞0且a≠1）叫做指数函数，其中x是自变量，函数定义域是R． 探究1：为什么要规定a＞0,且a≠1呢？
①若a＝0，则当x＞0时，a＝0；当x≤0时，a无意义.
11xx②若a＜0，则对于x的某些数值，可使a无意义. 如y＝(-2)，这时对于x＝ ，x＝ ，…
42等等，在实数范围内函数值不存在.
③若a＝1，则对于任何x∈R，a＝1，是一个常量，没有研究的必要性.
为了避免上述各种情况，所以规定a＞0且a≠1．在规定以后，对于任何x∈R，a都有意义，
x且a＞0. 因此指数函数的定义域是R，值域是(0，+∞).
探究2：函数 y＝2·3是指数函数吗？
答案：不是，指数函数的解析式 y＝a中，a的系数是1.
有些函数貌似指数函数，实际上却不是，如 y＝a (a＞0且a≠1，k∈Z)；有些函数看起
-x-1x来不像指数函数，实际上却是，如y=a(a＞0，且a≠1)，因为它可以化为 y＝(a)，其中
x+kxxxxxxx xxxxxa-1＞0，且a-1≠1.
【思考】下列函数是为指数函数有 ② ③ ⑤ ． ①y?x； ②y?8；③y?(2a?1)（a?2x x1x且a?1）；④y?(?4)； 2 ⑤y??x；⑥y?52x 2?1 ； ⑦y?xx；⑧y??10x．
活动设计：教师提出问题，学生思考、分析、讨论，教师引导、整理． 2．指数函数的图象 （1）描点法作函数草图
1xxx在同一坐标系中分别作出函数 y＝2，y＝( )，y＝10的图象.
2
1xxx⑴先分别列出 y＝2，y＝( )，y＝10中x．y的对应值表：
2
x y＝2x … －3 －2 －1.5 －1 －0.5 0 0.5 1 1.5 2 3 … … 0.13 0.25 0.35 0.5 0.71 1 1.4 2 2.8 4 8 … y＝1( )2x … 8 4 2.8 2 1.4 1 0.71 0.5 0.35 0.25 0.13 … x y＝10x … －1 －0.5 －0.25 0 0.25 0.5 1 … … 0.1 0.32 0.56 1 1.78 3.16 10 … 注意：①用图形计算器函数值表填写列表，列表时注意x的广泛代表性，即对于负数、零、正数都要取到；
②要画出渐近的“味道”． （2）指数函数的性质（观察、总结）
a 图 像 a＞1 0＜a＜1 定义域 R R 值 域 定 点 单调性
y＞0 x?0时，y?1 x?0时，0?y?1过点(0，1) 单调递增 y＞0 x?0时，0?y?1 x?0时，y?1过点(0，1) 单调递减 二．应用数学：
例1（课本第50页）比较下列各题中两个值的大小
2.53
(1)1.7,1.7；
－0.1－0.2
(2)0.8,0.8；
0.33.1
(3)1.7，0.9．
【教法】学生练习(1)、(2)，并对照课本解答，尝试总结比较同底数幂大小的方法以及一般步骤.
x解：(1)考查指数函数y=1.7
x又由于底数1.7＞1，所以指数函数y=1.7在R上是增函数， ∵2.5＜3；
2.53
∴1.7＜1.7．
x(2)考查指数函数y=0.8，
x由于0＜0.8＜1,所以指数函数y=0.8在R上是减函数， ∵－0.1＞－0.2 ，
－0.1－0.2
∴0.8＜0.8．
【解后反思】对上述解题过程，可总结出比较同底数幂大小的方法，即利用指数函数的单调性，其基本步骤如下：
(1)确定所要考查的指数函数；
(2)根据底数情况指出已确定的指数函数的单调性；
(3)比较指数大小，然后利用指数函数单调性得出同底数幂的大小关系. 解(3)由指数函数的性质知：
0.30
1.7＞1.7=1,
3.10
0.9＜0.9=1,
0.33.1
即1.7＞1，0.9＜1，
0.33.1
∴1.7＞0.9.
【说明】此题难点在于解题思路的确定，即如何找到中间值进行比较.(3)题与中间值1进行比较，这一点可由指数函数性质，也可由指数函数的图象得出，与1比较时，还是采用同底数幂比较大小的方法，注意强调学生掌握此题中“1”的灵活变形技巧.
【小结】对同底数幂大小的比较用的是指数函数的单调性，必须要明确所给的两个值是哪个指数函数的两个函数值；对不同底数是幂的大小的比较可以与中间值进行比较.
x例2（1） 指数函数f(x)?a(a>0且a≠1)的图象过点（3，π），则 f(?3)?1? ．
【思路分析】先求出y?a解析式，再代入即可． （2） 如图
② ① xy③ ④ x