内容发布更新时间 : 2024/6/26 12:01:40星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

4-1.4.2

教学目的：

正弦、余弦函数的性质(一)

知识目标：要求学生能理解周期函数，周期函数的周期和最小正周期的定义；

能力目标：掌握正、余弦函数的周期和最小正周期，并能求出正、余弦函数的最小正周期。 德育目标：让学生自己根据函数图像而导出周期性，领会从特殊推广到一般的数学思想，体

会三角函数图像所蕴涵的和谐美，激发学生学数学的兴趣。

教学重点：正、余弦函数的周期性

教学难点：正、余弦函数周期性的理解与应用 授课类型：新授课

教学模式：启发、诱导发现教学. 教具：多媒体、实物投影仪 教学过程：

一、 复习引入：

1．问题：（1）今天是星期二，则过了七天是星期几？过了十四天呢？……

（2）物理中的单摆振动、圆周运动，质点运动的规律如何呢？

2．观察正（余）弦函数的图象总结规律： 自变量x 函数值 sinx 正弦函数f(x)?sinx性质如下：

–

（观察图象）1?正弦函数的图象是有规律不断重复出现的；

2?规律是：每隔2?重复出现一次（或者说每隔2k?,k?Z重复出现）

3?这个规律由诱导公式sin(2k?+x)=sinx可以说明 结论：象这样一种函数叫做周期函数。

文字语言：正弦函数值按照一定的规律不断重复地取得；

–

符号语言：当x增加2k?（k?Z）时，总有f(x?2k?)?sin(x?2k?)?sinx? f(x)．

也即：（1）当自变量x增加2k?时，正弦函数的值又重复出现；

（2）对于定义域内的任意x，sin(x?2k?)?sinx恒成立。

余弦函数也具有同样的性质，这种性质我们就称之为周期性。

二、讲解新课：

1．周期函数定义：对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有：f(x+T)=f(x)那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期。 问题：（1）对于函数

?2??2?是它的周期？ y?sinx，x?R有sin(?)?sin，能否说

6363（2）正弦函数y?sinx，x?R是不是周期函数，如果是，周期是多少？（2k?，k?Z且k?0）

*（3）若函数f(x)的周期为T，则kT，k?Z也是f(x)的周期吗？为什么？

?f(x?kT)） （是，其原因为：f(x)?f(x?T)?f(x?2T)?2、说明：1?周期函数x?定义域M，则必有x+T?M,且若T>0则定义域无上界；T<0则定义域无下界；

2?“每一个值”只要有一个反例，则f(x)就不为周期函数（如f(x0+t)?f(x0)）

3?T往往是多值的（如y=sinx2?,4?,…,-2?,-4?,…都是周期）周期T中最小的正数叫做f(x)的

最小正周期（有些周期函数没有最小正周期）

y=sinx,y=cosx的最小正周期为2?（一般称为周期） 从图象上可以看出

y?sinx，x?R；y?cosx，x?R的最小正周期为2?；

判断：是不是所有的周期函数都有最小正周期？（

3、例题讲解

f(x)?c没有最小正周期）

1? y?3cosx②y?sin2x（3）y?2sin(x?)，x?R．

26解：（1）∵3cos(x?2?)?3cosx，

∴自变量x只要并且至少要增加到x?2?，函数y?3cosx，x?R的值才能重复出现， 所以，函数y?3cosx，x?R的周期是2?． （2）∵sin(2x?2?)?sin2(x??)?sin2x，

∴自变量x只要并且至少要增加到x??，函数y?sin2x，x?R的值才能重复出现， 所以，函数y?sin2x，x?R的周期是?．

1?1?1?（3）∵2sin(x??2?)?2sin[(x??)?]?2sin(x?)，

262626∴自变量x只要并且至少要增加到x??，函数y?sin2x，x?R的值才能重复出现， 所以，函数y?sin2x，x?R的周期是?． 说明：（1）一般结论：函数y?Asin(?x??)及函数y?Acos(?x??)，x?R（其中A,?,?2?为常数，且A?0，??0）的周期T?；

例1求下列三角函数的周期：①

（2）若???0，例如：①y?3cos(?x)，x?R；②y?sin(?2x)，x?R；

1?③y?2sin(?x?)，x?R．

26则这三个函数的周期又是什么？

一般结论：函数y?Asin(?x??)及函数y?Acos(?x??)，x?R的周期T?例2先化简，再求函数的周期

①y?sinx?cosx

②y?cosx?23cosxsinx?sinx ③证明函数

222? |?|f(x)?|sinx|?|cosx|的一个周期为

x??)2?y=cos2x3?y=3sin(+)

253?，并求函数的值域； 2例3求下列三角函数的周期： 1?y=sin(x+

解：1?令z=x+

?而sin(2?+z)=sinz即：f(2?+z)=f(z) 3??]=f(x+)∴周期T=2? 33f[(x+2)?+

2?令z=2x∴f(x)=cos2x=cosz=cos(z+2?)=cos(2x+2?)=cos[2(x+?)]

即：f(x+?)=f(x)∴T=?

3?令z=

x?x?+则：f(x)=3sinz=3sin(z+2?)=3sin(++2?) 2525=3sin(

x?4???)=f(x+4?)∴T=4? 25小结：形如y=Asin(ωx+φ)(A,ω,φ为常数,A?0,x?R)周期T=

y=Acos(ωx+φ)也可同法求之

例4求下列函数的周期：1?y=sin(2x+

2??

??)+2cos(3x-) 462?y=|sinx|3?y=23sinxcosx+2cos2x-1 解：1?y1=sin(2x+y2=2cos(3x-

?)最小正周期T1=? 4?2?)最小正周期T2= 63∴T为T1,T2的最小公倍数2?∴T=2?

2?T=?作图

注意小结这两种类型的解题规律 3?y=3sin2x+cos2x∴T=? 三、巩固与练习 1． y=2cos(

-? ??? 2? 3? ?x??)-3sin(x?)

443

??)+sin(4x-) 232． y=-cos(3x+3． y=|sin(2x+4． y=cos

?)| 6???sin+1-2sin2 222四、小结：本节课学习了以下内容： 周期函数的定义，周期，最小正周期 五、课后作业：P56练习5、6P58习题4．83

补充：

1．求下列函数的周期： 1?y=sin(2x+

??)+2cos(3x-)2?y=|sinx|3?y=23sinxcosx+2cos2x-1 46?3?cosx)-12?y=sin2x-4sinx+53?y= 43?cosx2．求下列函数的最值：1?y=sin(3x+

3．函数y=ksinx+b的最大值为2,最小值为-4，求k,b的值。 六、板书设计：

课题 一、知识点 （一） 七、课后反思：

题选

求下列函数的周期： （1）

（二） 例题： 1． 2． ??3xx3xxy?sin(?x)；（2）y?coscos?sinsin；

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