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第六章 习 题

6-1. 有人声称设计出一热机工作于两个温度恒定的热源之间，高温和低温热源分别为400K和250K；当此热机从高温热源吸热2.5×107cal时，对外作功20 kW﹒h，而向低温热源放出的热量恰为两者之差，这可能吗？

解：此热机的效率应为 ??1??T2T1??1??250400??37.5%，故当热机从高温热源吸热

Q1?2.5?107cal 时，能提供的功为W?Q1??2.5?107?0.375?9.38?106cal，同时向低温热源放出热量为Q2?Q1?W?2.5?107?9.38?106?1.562?107cal。这样，倘若本题所设计的热机能够实现，它对外的作功值 20kw·h ?1.728?107cal 显然超过了此卡诺热机可能的最大输出功 9.38?106cal，所以设计这样的热机是不可能的。

6-2．设有1mol的某种单原子理想气体，完成如图所示的一个准静态循环过程，试求：(1)经过一个循环气体所作的净功；(2)在态C和态A之间的内能差；(3) 从A经B到C过程中气体吸收的热量。(答:(1)314 J;(2)600 J;(3)1157 J)

解：如图所示，1mol单原子气体完成的是圆形准静态循环过程。在p?V图上，描述此圆的方程为

习题6-2图 ??p22p0??2????VV0??2??1, 其中的

p0?105Pa,V0?10?3m3。

（1）经过一个循环过程，气体所做的功等于描述此循环过程的圆面积，即

?p0V0?314J；

（2）与A 和C点的温度为 TA??pAVAR???2p0V0R?和TC??pCVCR???6p0V0R?，故两点之间的内能差为 ?UCA?UC?UA?CV?TC?TA??6p0V0?600J，其中的定容热容

CV??32?R；

（3）依据热力学第一定律，气体在ABC 过程中吸收的热量 Q??U?W，其中的内能增量?U已由（2）求得；而过程中所做的功可由过程曲线下所包含的面积求得：

W??12??p0V0?4p0V0?557J，故Q?1157J； （4）循环最高和最低温度分别发生在p1?p02???22，V1?V02?????22??

和p2?p02???22，V2?V02?????22

??所以相应的最高温度值为：T1??p1V1R???p0V0R?2?最低温度值为 T2??p2V2R???p0V0R?2???22??2?88.2K，

??22??2?20.1K；

（5）此循环效率为 ???WQ12?，式中的循环功已由（1）求得 W?314J，而循环吸热将发生在气体从最低温度T2升至最高温度T1之间，故

Q12??3R2??T1?T2???32??8.31??88.2?20.1??0.3699?37%。

6-3．一定量理想气体作卡诺循环,热源温度T1= 400 K,冷却器温度为T2? 280K.若已知:p1=10atm,V1=0.01 m3,V2=0.02 m3,?=1.4, 试求:(l)p2,p3,p4及V3,V4;(2)一个循环中气体作的功;(3)从热源吸收的热量;(4)循环的效率. (答:(1)p2? 5atm，p3? 1.43atm，103 J; (3)7.0×103J; (4)30 %) p4?268atm，V3?4.9?10-2m3, V4? 2.45?102m3;(2)2.1×

解：(1) 先由等温过程方程，可得 p2?p1?V1V2??5atm ；再应用绝热过程方程，并考虑到绝热指数??1.40 可得 V3?V2?T1T2?1???1??2?10?2?400280?2.5?4.9?10?2m3, 和

p3?p2?V2V3???1.43 atm。而 p4?p3?V3V4??2.86atm,。再由p1V1??p4V4?，可计算得V4?2.45?10?2m3；

（2）卡诺循环功为 W??R?T1ln?V2V1??T2ln?V3V4????p1V1?p2V2?ln2?2.1?103J；（3）从高温热源吸收的热量为 Q??RT1ln?V2V1??p1V1ln2?7?103J； （4）循环效率 ???WQ???2.17??30%。

6-4．一卡诺机,高温热源的温度为400 K,在每一循环中在此温度下吸入418 J的热量，并向低温热源放出334.4 J的热量.试求:(l)低温热源的温度是多少? (2)此循环的效率是多少? (答:(1)320 K;(2)20 %)

解：（1）低温热源的温度 T2?T1?Q2Q1??400??334.4418??320K ； （2）循环效率为 ??1??T2T1??1??320400??20% 6-5．如图所示，有1mol理想气体完成的循环过程，其中CA为绝热过程。A点的状态参量为?T,V1?、B点的状态参量为?T,V2?和绝热指数?均为已知。(l)气体在

习题6-5图 习题6-7图

A→B，B→C两过程中和外界交换热量吗？是放热还是吸热？(2)求C点的状态参量；(3)此循环是否为卡诺循环？求循环效率。

(答:(1)AB吸热，BC放热；(2)Vc? V2，Tc?T?V1V2???1；pcVc? RTc；(3)不是。

??1??1??1?1??V1V2???1ln?V2V1? )。

解：（1）AB吸热过程，BC放热过程； （2）VC?V2，TC?T?V1V2????1?????，pC??RTCVC?；

（3）此循环不是卡诺循环。在此循环的等温过程中，气体吸热，1mol气体吸收的热量为 Q?RTln?V2V1?，对外作功为 W?RTln?V2V1???RT???1???VV????1??1，故可

12得循环效率为

?1??1??V1V2????WQ??1?????1???ln?VV????21???1?????。 ?6-6.若可逆卡诺循环中的工作物质不是理想气体,而服从状态方程p?v?b??RT.试证明此卡诺循环的效率仍为??1??T2T1?.

解：由气体的状态方程 p?v?b??RT可见，这种气体的分子有体积，但没有引力，是一种刚性球，所以这种气体的内能仍应只与温度有关，而与气体的体积无关。事实上，由内能公式得到的结果：

??u?v?T?T??p?T?v?p??TR?v?b???p?0，

也说明了这一点。故由热力学第一定律可知，等温过程中系统吸收（或放出）的热量Q应等于系统对外（或外界对系统）所做的功W：

Q?W??V2pdV??V211VVV?bRT。 dV?RTln2V?bV1?b由气体内能只与温度有关这一性质，还可以证明：对于这种气体，理想气体的摩尔热容公式C?p?C?V?R 仍然成立。所以，将热力学第一定律应用于绝热过程，可得：

dU?pdV?C?VdT?RTTdVdV?C?VdT?C?p?C?V?0， V?bV?b??