内容发布更新时间 : 2024/11/16 10:49:05星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

球与各种几何体切、接问题

近几年全国高考命题来看,这部分内容以选择题、填空题为主，大题很少见。

首先明确定义1：若一个多面体的各顶点都在一个球的球面上，则称这个多面体是这个球的内接多面体，这个球是这个多面体的外接球。

定义2：若一个多面体的各面都与一个球的球面相切， 则称这个多面体是这个球的外切多面体，这个球是这个多面体的内切球.

一、球与柱体的切接

规则的柱体，如正方体、长方体、正棱柱等能够和球进行充分的组合，以外接和内切两种形态进行结合，通过球的半径和棱柱的棱产生联系，然后考查几何体的体积或者表面积等相关问题.

1、 球与正方体

（1）正方体的内切球，如图1. 位置关系：正方体的六个面都与一个球都相切，正方体中心与球心重合；

数据关系：设正方体的棱长为a，球的半径为r，这时有2r?a.

（2）正方体的棱切球，如图2. 位置关系：正方体的十二条棱与球面相切，正方体中心与球心重合； 数据关系：设正方体的棱长为a，球的半径为r，这时有2r?2a.

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（3）正方体的外接球，如图3. 位置关系：正方体的八个顶点在同一个球面上；正方体中心与球心重合；

数据关系：设正方体的棱长为a，球的半径为r，这时有2r?3a.

图3

例 1 棱长为1的正方体ABCD?A1B1C1D1的8个顶点都在球O的表面上，E，F分别是棱

AA1，DD1的中点，则直线EF被球O截得的线段长为（ ）

A．2 2 B．1 C．1?2 2D．2 思路分析：由题意推出，球为正方体的外接球.平面AA1DD1截面所得圆面的半径

AD12R??,得知直线EF被球O截得的线段就是球的截面圆的直径.

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2、 球与长方体

例2 自半径为R的球面上一点M，引球的三条两两垂直的弦MA,MB,MC，求

MA2?MB2?MC2的值．

结论：长方体的外接球直径是长方体的对角线．

例 3（全国卷I高考题）已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积为（ ）.

A. 16? B. 20? C. 24? D. 32?

思路分析：正四棱柱也是长方体.由长方体的体积16及高4可以求出长方体的底面边长为2，可得长方体的长、宽、高分别为2，2，4，长方体内接于球，它的体对角线正好为球的直径.

3、 球与正棱柱

（1）结论1：正棱柱的外接球的球心是上下底面中心的连线的中点． （2）结论2：直三棱柱的外接球的球心是上下底面三角形外心的连线的中点．