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【2019最新】精选高考数学大一轮复习第八篇平面解析几何第3节椭圆习

题理

【选题明细表】

知识点、方法 椭圆的定义与标准方程 椭圆的几何性质 直线与椭圆的位置关系 题号 1,2 2,3,4,5,6,7,8, 11,12,13 9,10,14 基础对点练(时间:30分钟)

1.已知椭圆+=1的左、右焦点分别为F1,F2,点P在椭圆上,若|PF2|=,则cos∠F1PF2等于( D )

(A) (B) (C) (D)

解析:|PF2|=,|PF1|+|PF2|=4,所以|PF1|=3,

所以cos∠F1PF2==.故选D.

2.设椭圆C:+=1(a>b>0)的左焦点为(-2,0),离心率为,则C的标准方程为( A )(A)+=1 (B)+=1(C)+=1 (D)+=1解析:由题知c=2,e==,所以a=4,b2=16-4=12,

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椭圆C的标准方程为+=1.故选A.

3.(2016·福州三中模拟)椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点为F1,F2,过F2作直线l垂直于x轴,交椭圆C于A,B两点,若△F1AB为等腰直角三角形,且∠AF1B=90°,则椭圆C的离心率为( A )(A)-1 (B)1-(C)2- (D)

解析:因为AF2⊥x轴, 所以A(c,),2c=,

所以2ac=b2=a2-c2, 所以2e=1-e2, 得e=-1.故选A.

4.若点O和点F分别为椭圆+=1的中心和左焦点,点P为椭圆上的任意一点,则·的最大值为( C )

(A)2 (B)3 (C)6 (D)8

解析:设P(x,y),向量=(x,y),=(x+1,y),·=x2+y2+x,又y2=,

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代入得·=x2+x+3,

所以当x=2时,有最大值6.故选C.

5.(2016·广西来宾高中模拟)椭圆C:+=1的左、右顶点分别为A1,A2,点P在C上,且直线PA2的斜率的取值范围是[-2,-1],那么直线PA1斜率的取值范围是( A )(A)[,] (B)[,] (C)[,1] (D)[,1]

解析:设P(x,y),直线PA1,PA2的斜率分别为k1,k2, 则k1k2=·=

==-,

所以k1=-×,

因为k2∈[-2,-1], 所以k1∈[,].故选A.

6.椭圆+=1(a>b>0)的左、右顶点分别是A,B,左、右焦点分别是F1,F2.若|AF1|,|F1F2|,|F1B|成等比数列,则此椭圆的离心率为( B )(A) (B) (C) (D)-2

解析:本题考查椭圆的性质与等比数列的综合运用.

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由椭圆的性质可知|AF1|=a-c,|F1F2|=2c,|F1B|=a+c, 又|AF1|,|F1F2|,|F1B|成等比数列,

故(a-c)(a+c)=(2c)2,可得==e(舍去负值).故应选B.

7.直线y=-x与椭圆C:+=1(a>b>0)交于A,B两点,以线段AB为直径的圆恰好经过椭圆的右焦点,则椭圆C的离心率为( C )(A) (B)(C)-1 (D)4-2

解析:由题意可得|OF2|=|OA|=|OB|=|OF1|=c, 由y=-x,得∠AOF2=,∠AOF1=.

所以|AF2|=c,|AF1|=c.

由椭圆定义可知,|AF1|+|AF2|=2a, 所以c+c=2a,

所以e==-1.故选C.

8.(2016·陕西安康联考)椭圆mx2+y2=1(m>1)的短轴长为m,则m= .

解析:由题意得2=m,m=2.答案:2

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9.已知椭圆C:+y2=1,斜率为1的直线l与椭圆C交于A,B两点,且|AB|=,则直线l的方程为 .

解析:设直线方程为y=x+b,

联立

可得4x2+6bx+3b2-3=0, 所以x1+x2=-,x1x2=,所以·=,所以b=±1, 直线l为y=x±1. 答案:y=x±1

10. 导学号 18702441如图所示,已知椭圆+=1(a>b>0),F1,F2分别为椭圆的左、右焦点,A为椭圆的上顶点,直线AF2交椭圆于另一点B.(1)若∠F1AB=90°,求椭圆的离心率; (2)若椭圆的焦距为2,且=2,求椭圆的方程.解:(1)因为|AF1|=|AF2|=a, 且∠F1AF2=90°,|F1F2|=2c, 所以2a2=4c2, 所以a=c,所以e==.

(2)由题知A(0,b),F2(1,0),设B(x,y),

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