内容发布更新时间 : 2024/12/23 1:24:16星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

故存在唯一的x0∈(0,1)，使得q(x0)＝0. 所以方程③有唯一实数解， 则由①或②可解得唯一的实数a.

所以存在唯一的实数a使得直线y＝f(x)与曲线y＝g(x)相切. (2)解 由f(x)>g(x)， 得a?x－

??

x－1?

x?<1.令h(x)＝x－ex， e?

x－2ex＋x－2

e

xx－1

则h′(x)＝1＋＝

e

x.

由(1)知，存在x0∈(0,1)，使得h(x)在(－∞，x0)上单调递减，在(x0，＋∞)上单调递增.

x0?1x0ex0?x0?1所以h(x)min＝h(x0)＝x0－x＝， x00ee易证e>x＋1，

2x0ex0?x0?1x0?1则h(x0)＝??0.

ex0ex0x所以h(x)≥h(x0)>0，h(0)＝h(1)＝1.

若a≤0，则ah(x)≤0<1，此时ah(x)<1有无穷多个整数解； 11

若a≥1，即0<≤1，h(x)<无整数解；

aa11

若01，此时h(0)＝h(1)＝1<，

aa1

故0,1是h(x)<的两个整数解，

a??h因此???h1

－1≥，

a12≥，

a

e

解得a≥2.

2e－1

2

?e?综上，a∈?2，1?. ?2e－1?

能力提升练

1

2

x－a－ax－a1－x1ax－a4.(1)解 f′(x)＝＋＝22＝2， 22

axxaxx2

①当a<0时，f′(x)>0恒成立，f(x)在(0，＋∞)上单调递增， ∴当x∈(0,1)时，f(x)

?1?②当a>0时，x∈?0，?时，f′(x)<0，f(x)单调递减；

?

a?

5

??x∈?，＋∞?时，f′(x)>0，f(x)单调递增， ?a?

1?1?∴f(x)min＝f??＝1－－lna≥0.

1

?a?

aa1

令g(a)＝1－－lna， 111－a则g′(a)＝2－＝2，

aaa当a∈(0,1)时，g′(a)>0，g(a)单调递增；当a∈(1，＋∞)时，g′(a)<0，g(a)单调递减， 1

∴g(a)≤g(1)＝0，∴由1－－lna≥0，解得a＝1.

a1

(2)证明 由(1)得ln x≥1－(当且仅当x＝1时等号成立)，

x令x＝

n＋1*

>1(n∈N)， nn＋11

>， nn＋1

n＋11n－1

>>， nn＋1n2

n－1

， n2

则有ln

2

2

∵n>n－1，∴ln

∴ln(n＋1)－ln n>

?

?ln 3－ln 2>1，

2∴?…，

?lnn＋1－ln n>n－1，?n2

2

0ln 2－ln 1>2，

1

12n－1*

累加得ln(n＋1)>2＋2＋…＋2(n∈N)，原命题得证.

23n

6