内容发布更新时间 : 2024/12/23 0:14:07星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

?C?充分必要条件 ?D? 既不是充分条件，也不必要条件

五、证明题

1、设X是一个集合，令????，X?，则?是X的一个拓扑． 2、有理数集Q作为实数空间R的子空间是不连通的． 3、包含不可数个点的离散空间不满足第二可数性公理．

4、拓扑空间X的子集U是开集的充要条件是U是它的每一点的邻域．

5、若X是T1空间，则X中的每个单点集都是闭集。 6实数空间R不是一个紧致空间。

7、包含不少于两个点的平庸空间不是T0空间。

8、设?X，??为度量空间，如果X为有限集，证明：?X，??为离散空间。

9、设?X，??为拓扑空间，证明：如果X的每一个子集A都满足

d?A???，则?X，??是离散空间。

13、设?X,??是度量空间，证明：如果X有一个基只含有有限个元素，则X必为有限集，且?X,??是离散空间。

14、证明：可分空间的任一个开子空间都是可分空间。

10、设X为拓扑空间，f:X?R （其中R为实数空间）是连续映射，证明X中的子集A??x?Xf?x??0?为开集。 11、证明：正则的T0空间必是T3空间。

12、证明：实数集R上的可数补拓扑空间必是一个Lindeloff空间。